¿Cuántos operadores "ternarios puros" hay?

Question

Puro operador ternario es una función de $T:A\times A\times A \to A$ tal que para cada par de operadores binarios $f,g:A\times A \to A$, y para cada una de las siguientes desigualdades

• $f(g(x,y),z) \ne T(x,y,z)$
• $f(x,g(y,z)) \ne T(x,y,z)$

hay un triplete $x,y,z\in A$ para que la desigualdad se cumple

Básicamente no puedo reemplazar T con dos operadores binarios en una simple composición. Tal ternario existen funciones (para el conjunto de tamaño de los dos): $$T(1,0,0)=1 \quad T(0,0,0)=0 \quad T(0,1,0)=1 \quad T(1,0,1)=1 \quad T(0,1,1)=0 \\ T(1,1,1)=0\;or\; 1 \quad T(1,1,0) = 0 \quad T(0,0,1)=1 \quad $$

Permite descartar la posibilidad de que el interior de la función binaria aplicada a la izquierda dos elementos. A continuación, el exterior de la función para el cero como su derecho argumento de dos resultados posibles, por lo que el interior de la función de mapa de la izquierda(1,0) y (0,1) para el mismo elemento. Pero si que es cierto, que (1,0,1) y (0,1,1) debe ser asignado en el mismo elemento, pero no lo son.

La posibilidad de que el interior de la función que se aplica en el derecho dos elementos no puede ocurrir ninguna de las dos. (0,1,0) y (0,1,1) tienen diferentes imágenes, pero (0,1,0) y (0,0,1) tienen la misma imagen, por lo que el derecho (1,0) y (0,1) tiene que ser asignada de forma idéntica. Que supondría (1,1,0) y (1,0,1) tienen la misma imagen, pero ellos no. Así que no importa lo que los operadores que yo elija, no puedo usarlas en "simple" composición para obtener este operador ternario. Espero que mi prueba es correcta.

Y como una manera de construir la "pura ternario" la función podría ser (creo) que se aplica para grandes conjuntos así. Traté de google más información sobre ella, pero no tuve éxito. Sobre todo me terminó en el tema relacionado a Son todos los n-ary los operadores simplemente composiciones de operadores binarios? . Pero sólo me interesa este tipo de composición.

Así que mi pregunta: ¿hay una manera de calcular (sin ir a través de todas las posibilidades) el número de "pura ternario" los operadores en un conjunto de tamaño $n$?

Yo realmente no sé cómo acercarse a este.

EDIT: Ejemplo de un operador es incorrecto, que trabaja para una definición diferente. Por favor, voy a tratar de hacer la corrección, pero necesito un poco de tiempo, yo estaba jugando con demasiado tiempo y la perdió.

EDIT2: Basado en Bram28 comentario que me ha cambiado la definición. He estado trabajando realmente con esta definición de todos modos. Esta más estricta versión debe ser factible, por lo menos en la construcción de los ejemplos.

Answer 1

SUGERENCIAS

Primer aviso de que si no se $f$ $g$ tal forma que:

$$\forall x,y,z \ f(g(x,y),z) = T(x,y,z)$$

luego también no estarán $f$ $g$ que cualquiera de los siguientes sostiene:

$$\forall x,y,z \ g(f(x,y),z) = T(x,y,z)$$ $$\forall x,y,z \ f(f(x,y),z) = T(x,y,z)$$ $$\forall x,y,z \ g(g(x,y),z) = T(x,y,z)$$

Del mismo modo, si no hay ninguna $f$ $g$ tal forma que:

$$\forall x,y,z \ f(x,g(y,z)) = T(x,y,z)$$

luego también no estarán $f$ $g$ que cualquiera de los siguientes sostiene:

$$\forall x,y,z \ g(x,f(y,z)) = T(x,y,z)$$

$$\forall x,y,z \ f(x,f(y,z)) = T(x,y,z)$$

$$\forall x,y,z \ g(x,g(y,z)) = T(x,y,z)$$

En otras palabras: un operador ternario $T$ es 'puro' si y sólo si no hay ningún $f$ $g$ que cualquiera de los siguientes sostiene:

$$\forall x,y,z \ f(g(x,y),z) = T(x,y,z)$$

$$\forall x,y,z \ f(x,g(y,z)) = T(x,y,z)$$

En segundo lugar, puede ser más fácil pensar en el ternario de los operadores, que son no puro. Es decir, ¿qué hacen los $T$'s para que nos hacer tener $f$ $g$ que 'captura' $T$ en una de estas maneras?

Encontrar ese $T$, podemos considerar en primer lugar aquellos que pueden ser capturados por $f$ $g$ tal que

$$\forall x,y,z \ f(g(x,y),z) = T(x,y,z)$$

¿Qué tipo de $T$ permitiría esto? Bueno, supongamos $T(x,y,1)=1$ cualquier $x$$y$. Entonces podemos capturar $T$ como sigue: Set$g(x,y)=T(x,y,0)$,$f(w,1)=1$, y establecer $f(w,0)=w$. Del mismo modo, si $T(x,y,1)=0$ cualquier $x$$y$, podemos capturar $T$. Y del mismo modo, si $T(x,y,0)$ tiene el mismo valor para todos los $x$ y $y$, $T$ no es pura.

OK, así que ahora considere la posibilidad de cualquier $T$ que $T(x,y,1)=0$ para algunos de los pares de $x$ $y$ $T(x,y,1)=1$ para los otros pares. En ese caso, $T$ no es pura, si y sólo si para todos $x,y,x',y'$: $T(x,y,1)=T(x',y',1)$ iff $T(x,y,0)=T(x',y',0)$. Esto es porque si para todos $x,y,x',y'$: $T(x,y,1)=T(x',y',1)$ iff $T(x,y,0)=T(x',y',0)$, a continuación, establezca $g(x,y)=T(x,y,1)$, $f(w,1)=w$, y $f(w,0)=w$ si para todos $x,y$: $T(x,y,1)=T(x,y,0)$ y $f(w,0)=1-w$ si para todos $x,y$: $T(x,y,1)\not =T(x,y,0)$, para entonces:

$f(g(x,y),1)=g(x,y)=T(x,y,1)$

y

$f(g(x,y),0)=g(x,y)= T(x,y,1)= T(x,y,0)$ si para todos $x,y$: $T(x,y,1)=T(x,y,0)$

y

$f(g(x,y),0)=1-g(x,y)= 1-T(x,y,1) = T(x,y,0)$ si para todos $x,y$: $T(x,y,1)\not =T(x,y,0)$

[ahora demostrar que si no se si para todos $x,y,x',y'$: $T(x,y,1)=T(x',y',1)$ iff $T(x,y,0)=T(x',y',0)$, $T$ es puro]

[ahora podemos fácilmente calcular cuántas de estas no-puro $T$'s]

[consideremos ahora el segundo caso]

[por último, considere la posibilidad de la 'doble-cuenta"]