Área de un hexágono desde las distancias de los lados opuestos

Question

Problema. Todos los seis lados del hexágono en la figura adjunta tiene la misma longitud, y los lados opuestos son paralelos. Las distancias de los tres pares opuestos son $d_1=7\mathrm{cm}$, $d_2=8\mathrm{cm}$ y $d_3=9\mathrm{cm}$, respectivamente. Hallar el área del hexágono.

Claramente, $$ \text{Área}=\frac{1}{2}x(d_1+d_2+d_3), $$ donde $x$ es la longitud de cada uno de los lados. Por lo tanto, es suficiente para encontrar $x$ como una función de la $d_1,d_2$$d_3$.

EDIT. El área en el caso particular $d_1=7\mathrm{cm}$, $d_2=8\mathrm{cm}$ y $d_3=9\mathrm{cm}$ es proporcionada en la respuesta de Jack D'Aurizio que sigue. Me preguntaba si es posible obtener una expresión del área del hexágono como una función de la $d_1,d_2$$d_3$.

Answer 1

El problema general no es fácil en absoluto: en algunos casos, lo mejor es tomar el problema poser punto de vista. ¿Cómo se construye una simple hexágono equilátero con lados opuestos paralelos? Mi inspiración supongo que era aprovechar el $(3,4,5)$ triple de Pitágoras:

y yo tuve la suerte de que me encontré con el exacto restricciones sobre las distancias de los lados opuestos.
Desde el diagrama anterior es trivial para conseguir que el lado largo es de $5$ y la quería área es

$$ 25+25-2+6+6 = \frac{5}{2}(7+8+9) = \color{red}{60}.$$

Answer 2

Similar a Jack D'Aurizo sugerencia de considerar la integración de nuestras hexágono en $\mathbb{C}$ mediante la colocación de un vértice a $z=0$, otro en $z=r$, y un tercero en $z=re^{i\alpha}$ donde $r$ es el común de la longitud de los seis lados.

El vértice de la izquierda en la figura de arriba es en $z=re^{i\alpha}$, de modo que el vértice que forma el extremo izquierdo de la parte superior horizontal de lado es a $z=re^{i\alpha}+re^{i\pi-\beta}$, desde el lado superior izquierdo debe ser paralela a la parte inferior derecha. La parte imaginaria de este vértice nos dará la distancia desde la parte inferior horizontal de lado a la parte superior horizontal de lado, lo que llamamos $d_1$. Así tenemos \begin{equation} d_1 = \Im(r(e^{i\alpha}+e^{i(\pi-\beta)})) = r(\sin\alpha + \sin(\pi-\beta)) = r(\sin\alpha+\sin\beta). \end{equation} Denota la distancia desde la parte inferior izquierda a la superior derecha por $d_2$ y la distancia desde la parte superior izquierda a la esquina inferior derecha, por $d_3$, podemos ver que del mismo modo \begin{equation} d_2 = r(\sin\alpha+\sin\gamma) \quad\text{and}\quad d_3 = r(\sin\beta+\sin\gamma). \end{equation} (Edit: no teníamos incrustar en $\mathbb{C}$ para obtener estas ecuaciones. También podría haber dibujado una línea horizontal a través del vértice de la izquierda y las líneas verticales a través de los otros dos de la mano izquierda vértices, entonces se calcula la altura de los dos triángulos resultantes.) Ahora podemos empezar complicado. Desde que nos esperan $d_1,d_2$, e $d_3$ a determinar muchos (quizás todas) de las propiedades de nuestro hexágono, vamos a calcular los ángulos a partir de estas distancias. Tenemos \begin{align*} d_1+d_2-d_3 &= 2r\sin\alpha\\ d_1-d_2+d_3 &= 2r\sin\beta\\ -d_1+d_2+d_3 &= 2r\sin\gamma, \end{align*} así \begin{align*} \alpha &= \arcsin\left(\frac{d_1+d_2-d_3}{2r}\right)\\ \beta &= \arcsin\left(\frac{d_1-d_2+d_3}{2r}\right)\\ \gamma &= \arcsin\left(\frac{-d_1+d_2+d_3}{2r}\right). \end{align*} Debido a que los lados opuestos de nuestros hexágono son paralelas, los ángulos opuestos deben estar de acuerdo. Esto significa que $4\pi=2\alpha+2\beta+2\gamma$, por lo que \begin{equation} 2\pi = \arcsin\left(\frac{d_1+d_2-d_3}{2r}\right) + \arcsin\left(\frac{d_1-d_2+d_3}{2r}\right) + \arcsin\left(\frac{-d_1+d_2+d_3}{2r}\right). \end{equation} Podemos conseguir algo de tracción aquí usando la siguiente adición fórmula: \begin{align*} \arcsin x &+ \arcsin y + \arcsin z\\ &= \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}\sqrt{1-z^2} + y\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-z^2} + z\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}-xyz\right). \end{align*} Aplicando esto a nuestra ecuación anterior y multiplicando por $8r^3$ rendimientos \begin{align*} 0 = (d_1 &+d_2 - d_3)\sqrt{4r^2-(d_1-d_2+d_3)^2}\sqrt{4r^2-(-d_1+d_2+d_3)^2}\\ &+(d_1 - d_2 + d_3)\sqrt{4r^2-(d_1+d_2-d_3)^2}\sqrt{4r^2-(-d_1+d_2+d_3)^2}\\ &+(-d_1 + d_2 + d_3)\sqrt{4r^2-(d_1+d_2-d_3)^2}\sqrt{4r^2-(d_1d_2+d_3)^2}\\ &-(d_1+d_2-d_3)(d_1-d_2+d_3)(-d_1+d_2+d_3). \end{align*} Esta ecuación puede ser reorganizado para producir \begin{align*} 1&= \frac{\sqrt{4r^2-(d_1-d_2+d_3)^2}}{d_1-d_2+d_3}\frac{\sqrt{4r^2-(-d_1+d_2+d_3)^2}}{-d_1+d_2+d_3} + \frac{\sqrt{4r^2-(d_1+d_2-d_3)^2}}{d_1+d_2-d_3}\frac{\sqrt{4r^2-(-d_1+d_2+d_3)^2}}{-d_1+d_2+d_3} + \frac{\sqrt{4r^2-(d_1+d_2-d_3)^2}}{d_1+d_2-d_3}\frac{\sqrt{4r^2-(d_1-d_2+d_3)^2}}{d_1-d_2+d_3}. \end{align*} Este parece un buen lugar para mano a un sistema de álgebra computacional. Me preguntó Mathematica para resolver \begin{equation} 1 = \frac{\sqrt{4r^2-x^2}}{x}\frac{\sqrt{4r^2-y^2}}{y}+\frac{\sqrt{4r^2-x^2}}{x}\frac{\sqrt{4r^2-z^2}}{z} + \frac{\sqrt{4r^2-y^2}}{y}\frac{\sqrt{4r^2-z^2}}{z} \end{equation} para $r$ en términos de $x$, $y$, y $z$. El resultado fue \begin{equation} r = \frac{xyz}{\sqrt{-x^4+2x^2y^2-y^4+2x^2z^2+2y^2z^2-z^4}} = \frac{xyz}{\sqrt{(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)}}. \end{equation} A continuación, podemos hacer las sustituciones $x=d_1+d_2-d_3$, $y=d_1-d_2+d_3$, y $z=-d_1+d_2+d_3$ obtener la siguiente expresión para $r$ en términos de las distancias: \begin{equation} \boxed{r = \frac{(-d_1 + d_2 + d_3) (d_1 + d_2 - d_3) (d_1 - d_2 + d_3)}{\sqrt{(d_1+d_2+d_3)(3d_1-d_2-d_3)(3d_2-d_3-d_1)(3d_3-d_1-d_2)}}.} \end{equation} (Gracias a Azul para simplificar estas expresiones!) El área del hexágono será así \begin{equation} \boxed{A = \frac{1}{2}r(d_1+d_2+d_3) = \frac{(-d_1 + d_2 + d_3) (d_1 + d_2 - d_3) (d_1 - d_2 + d_3)\sqrt{d_1+d_2+d_3}}{2\sqrt{(3d_1-d_2-d_3)(3d_2-d_3-d_1)(3d_3-d_1-d_2)}}.} \end{equation} Vale la pena señalar que en nuestro caso tenemos $d_1=9$, $d_2=8$, y $d_3=7$ (hasta algunos de permutación de las etiquetas), de modo que \begin{equation} r = \frac{(6)(8)(10)}{\sqrt{(24)(12)(8)(4)}} = \frac{480}{\sqrt{9216}} = \frac{480}{96} = 5, \end{equation} como concluyó Jack. Esta solución no es tan inspirado o agradable a la vista como los de Jack, pero yo creo que es la generalidad esperaba.

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Edit. He aquí algunos de los trabajos que nos pidió Mathematica hacer. Vamos a reescribir la ecuación como \begin{equation} 1 = \sqrt{\left[4\left(\frac{r}{x}\right)^2-1\right]\left[4\left(\frac{r}{y}\right)^2-1\right]} + \sqrt{\left[4\left(\frac{r}{x}\right)^2-1\right]\left[4\left(\frac{r}{z}\right)^2-1\right]} + \sqrt{\left[4\left(\frac{r}{y}\right)^2-1\right]\left[4\left(\frac{r}{z}\right)^2-1\right]}. \end{equation} Podemos mover el extremo derecho de la raíz a la PREPA y de la plaza, para obtener \begin{equation} \left(1 - \sqrt{\left[4\left(\frac{r}{y}\right)^2-1\right]\left[4\left(\frac{r}{z}\right)^2-1\right]}\right)^2 = \left[4\left(\frac{r}{x}\right)^2-1\right]\left(\sqrt{\left[4\left(\frac{r}{x}\right)^2-1\right]\left[4\left(\frac{r}{y}\right)^2-1\right]} + \sqrt{\left[4\left(\frac{r}{x}\right)^2-1\right]\left[4\left(\frac{r}{z}\right)^2-1\right]}\right)^2. \end{equation} Resolver esto por $4(r/x)^2$ y usted encontrará que \begin{equation} \frac{4x^2r^2}{y^2z^2} = 4\left(\frac{r}{y}\right)^2 + 4\left(\frac{r}{z}\right)^2 + 2\sqrt{4\left(\frac{r}{y}\right)^2-1}\sqrt{4\left(\frac{r}{z}\right)^2-1} - 2. \end{equation} Ahora aislar el resto de los radicales y de la plaza de nuevo. Después de excluir $\frac{4r^2}{y^4z^4}$ tendrás una expresión de lo que podemos encontrar fácilmente $r^2$.

Answer 3

Extender cada otro extremo de la hexagonal (de lado de longitud $s$) para determinar los tres puntos $A$, $B$, $C$; definir $a := |BC|$, $b := |CA|$, $c := |AB|$.

Tenga en cuenta que los bordes paralelos de la hexagonal dar lugar a semejanza de triángulos. La figura de las etiquetas de los segmentos de acuerdo a las proporciones correspondientes.

Ahora, considere el hexágono opuesto de distancia del borde al $k$. Por similitud, podemos escribir (con $T := |\triangle ABC|$)

$$\frac{|BB_c|}{|BC|} = \frac{k}{\text{altitude from $C$}} \quad\a\quad \frac{s(a+b)}{ab} = \frac{k}{2T/c} \quad\a\quad a b ck=2Ts(a+b) \etiqueta{1} $$ Asimismo, $$a b c h = 2 T s (b+c) \qquad a b c j = 2 T s (c+a) \tag{2}$$

Por lo tanto,

$$h : j : k \;=\; b+c:c+a:a+b \tag{3}$$

y podemos deducir que, para algunos,$\lambda$,

$$a = (-h + j + k)\lambda \qquad b = (h-j+k)\lambda \qquad c = (h+j-k)\lambda \tag{4}$$ de modo que, por la Fórmula de la Garza, $$\begin{align} T &=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \\[4pt] &= \frac{\lambda^2}{4}\sqrt{(h+j+k)(3h-j-k)(3j-k-h)(3k-h-j)} \end{align} \etiqueta{5}$$ Por último, la sustitución de $(4)$ $(5)$ a $(1)$:

$$s =\frac{(-h+j+k)(h-j+k)(h+j-k)}{\sqrt{(h+j+k)(3h-j-k)(3j-k-h)(3k-h-j)}} \tag{6}$$

El hexágono de la zona se sigue inmediatamente. $\square$