Cadena formada por la suma de los últimos cuatro elementos mod 10

Question

Ejemplo de una cadena: $1, 5, 1, 9, \color{red}{6}, 1, 7, 3, 7, \color{red}8, 5, 3, 3, 9, \color{red}0, 5, 7, 1, 3, \color{red}6, 7, 7, 3, 3, \color{red}0,\dots$

El primer $4$ elementos son aleatorios. Cada uno es la suma de los cuatro anteriores mod 10.

Lo que he notado es que cada quinto elemento, que pasa a ser el de siempre, incluso, poner junto con las demás, incluso de los elementos por separado en una cadena en el mismo orden que siguen el mismo principio.

Cada quinto elemento, de la cadena anterior, las formas de la cadena que comienza con $6, 8, 0, 6, 0,\dots$
Observar que $0$ es exactamente la suma de los últimos cuatro mod 10.

Todo lo que quiero averiguar es por qué esos elementos siguen el mismo principio. Traté de hacer una prueba de 2 días y yo no podía. Si alguien tiene alguna idea de que va a ser grande. Gracias de antemano!

Answer 1

Una manera de ver esto es que es LINEAL: si se toman dos secuencias creadas utilizando la regla y agregar a ellos (mod 10), se obtiene una nueva secuencia que sigue la regla. Lo mismo ocurre si se multiplica por una constante (y reducir mod 10). Así que si de mirar y de entender algunas muy secuencias básicas, como

$$ s_1 = 1, 0, 0, 0, \ldots\\ s_2 = 0, 1, 0, 0, \ldots\\ s_3 = 0, 0, 1, 0, \ldots\\ s_4 = 0, 0, 0, 1, \ldots $$ entonces podemos entender una secuencia como la suya, porque es justo $$ s = 1 * s_1 + 5 * s_2 + 1 * s_3 + 9 * s_4 $$

@Vepir ya ha analizado $s_4$ a mostrar que se produce una secuencia que no tiene la propiedad especial (aunque el análisis es erróneo, la conclusión es correcta). Vamos a mirar a los otros:

$$ s_1 = 1 , 0, 0, 0, {\bf 1}, 1, 2, 4, 8, {\bf 5}, 9, 6, 8, 8, {\bf 1}, 3, 0, 2, 6, {\bf 1}, 9, 8, 4, 2, {\bf 3} $$ para que la suma de los cuatro primeros los valores en negrita es $8$, pero debería ser $3$. Vamos a llamar a esto una "suma de error"$5$.

$$ s_2 = 0, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 6, 2, 3, 4, 5, 4, 6, 9, 4, 3, 2, 8, 7, 0, 7, 2, 6, 5\\ s_3 = 0, 0, 1, 0, 1, 2, 4, 7, 4, 7, 2, 0, 3, 2, , 7, 2, 4, 5, 8, 9, 6, 8, 1, 4, 9\\ s_4 = 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 5, 9, 6, 8, 8 , 1, 3, 0, 2, 6, 1, 9, 8, 4, 2, 3, 7 $$ La correspondiente suma de los errores (por el 'el quinto elemento' subsecuencias) son todos también
$5$.

Entonces, ¿por qué su secuencia final con una suma de errores de cero? Debido a que el error se $1 * 5 + 5 * 5 + 1 * 5 + 9 * 5 \bmod 10$,$16 * 5 \bmod 10 = 80 \bmod 10 = 0$.

De hecho, para cualquier secuencia formada como una combinación de mis cuatro secuencias básicas, si el primero de los cuatro artículos que hacer suman a un número par, entonces la suma de los errores se suman a un número par de veces $5$, las cuales, tomadas mod $10$ da cero. Si no se suman a un número par, entonces el todo-quinto-elemento larga no tiene la propiedad deseada.