¿Por qué los programas de computadora (Wolfram Alpha, Symbolab) piensan que$\sum_{n=0}^{\infty} \sin(\frac{\pi}{2}n!)$ es divergente?

Question

He estado mirando recientemente la serie

ps

Que debe ser igual a$$\sum_{n=0}^{\infty} \sin(\frac{\pi}{2}n!)=1+1+0+0+0+0+0+\cdots,$. Sin embargo, programas como Wolfram Alpha, Symbolab, etc., me dicen que esta serie es divergente. ¿Puede alguien explicar lo que está sucediendo?

Answer 1

Al parecer, el software no es lo suficientemente listo para conseguir el truco aquí. Sospecho que cuando Wolfram Alpha dice que la serie es divergente, lo que realmente significa es que es incapaz de determinar que la serie es convergente.

Answer 2

Para$n \ge 2$ tenemos

$\frac{\pi}{2}n!= \pi k_n$ con $k_n \in \mathbb N$. Por lo tanto:

$\sin(\frac{\pi}{2}n!)=0$ Para$n \ge 2$ y la serie es convergente.