No entiendo la diferencia entre $\rightarrow$ y $\Rightarrow$ . A veces veo tablas de verdad de la implicación etiquetadas con lo primero, a veces con lo segundo.
¿No son sinónimos de implicación lógica o hay alguna diferencia?
Normalmente, $\Rightarrow$ denota implicación en el metalenguaje, mientras que $\rightarrow$ denota implicación en el lenguaje formal del que se quiere hablar. Por ejemplo, $$M \models \sigma \rightarrow \tau \ \Rightarrow \ M \models \rho$$ se traduce como "si $M$ es un modelo de $\sigma \rightarrow \tau$ entonces $M$ es un modelo de $\rho$ ".
No hay ninguna diferencia universalmente observada entre los dos símbolos.
$\Rightarrow$ tiende a utilizarse más a menudo en la enseñanza de grado, donde los símbolos lógicos se utilizan para explicar y dilucidar argumentos matemáticos ordinarios, por ejemplo, en el análisis real.
$\to$ tiende a ser favorecida en la lógica matemática formal, donde el enfoque es modelado argumentos matemáticos ordinarios como objetos matemáticos formales que siguen reglas precisas y que pueden ser estudiados como un tema en sí mismo.
Pero esta división no es observada por todos los autores, y no se puede esperar que un texto al azar que se encuentre la siga.
Entonces, ¿qué está diciendo cuando dice $P \rightarrow Q$ ? Tal vez usted está diciendo $P \rightarrow Q$ debe usarse como un término y no como una fórmula, por lo que no es algo que se pueda decir o afirmar, pero creo que esto no está muy claro.
En particular, los autores que han llamado a utilizar $\to$ mucho en referencia a las funciones utilizará a menudo $\Rightarrow$ para evitar la sobrecarga de un símbolo.
@MaliceVidrine: Pero por otro lado, los autores que hagan uso de la correspondencia Curry-Howard querrán utilizar $\to$ tanto para los tipos de función como para las implicaciones.
Como han dicho otros, en la práctica se utilizan ambos para el condicional material, y desde luego no querría decir que alguien está "equivocado" al utilizar un símbolo en lugar del otro, pero personalmente tengo mis razones para separar ambos:
Yo uso $\rightarrow$ para el material implicación, para poder utilizar el $\Rightarrow$ para lógico implicación. Por ejemplo, yo utilizaría $P \land Q \Rightarrow P$ para hacer el meta-lógico declaración que la declaración lógica $P$ está lógicamente implícito en el enunciado lógico $P \land Q$ . Asimismo, utilizo $\leftrightarrow$ para el bicondicional material, y $\Leftrightarrow$ para expresar la equivalencia lógica. Por ejemplo: $P \leftrightarrow Q \Leftrightarrow Q \leftrightarrow P$ expresa el enunciado meta-lógico que el enunciado lógico $P \leftrightarrow Q$ es lógicamente equivalente a la declaración lógica $Q \leftrightarrow P$ (por supuesto, algunos utilizan $\equiv$ para expresar la equivalencia lógica, pero también he visto $\equiv$ utilizado para expresar el condicional material...)
En resumen: la gente utiliza diferentes símbolos, y eso está bien siempre que se deje claro lo que significan y cómo se utilizan, pero para mí la línea horizontal simple señala algo sobre la sintaxis de la lógica, mientras que la línea doble para mí señala algo semántico. De hecho, a mis ojos esta distinción refleja la distinción entre $\vdash$ y $\vDash$ donde $\vdash$ se trata de derivaciones puramente sintácticas, y el $\vDash$ es sobre la implicación semántica.
Como no soy nativo del inglés tengo que preguntar cuál es la diferencia entre implicación material e implicación lógica. no he oído hablar antes de diferentes tipos de implicaciones, sólo de la tabla de verdad.
@Peter Una declaración como $ P \to Q$ puede ser ciertamente verdadera en algún mundo (posiblemente nuestro mundo): hay una fila en la tabla de verdad donde esa afirmación es verdadera, y esa fila corresponde a una cierta (clase de) mundo. Por lo tanto, se puede decir que en ese mundo, $P$ implica materialmente $Q$ . Sin embargo, $P$ no implica lógicamente $Q$ ... porque en una tabla de verdad también hay una fila (una fila diferente) donde $P$ es cierto pero $Q$ es falso. También hay que tener en cuenta que $P \to Q$ es un único enunciado lógico, mientras que la implicación lógica es un meta -Declaración lógica: una declaración sobre dos enunciados lógicos y cómo se relacionan.
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