¿Hay una descripción matemática de la relación de tres partes?

Question

Los números racionales tienen muchas interpretaciones, pero una de las más simples es como una relación de un número a otro. La fracción $1/2$ puede ser interpretado como la proporción de 1:2 (es decir, una manzana por cada dos naranjas). Los números racionales son también considerada como una extensión del sistema de número de números enteros $\mathbb{Z}$ a (casi) cerca de debajo de la división.

Me parecería una extensión natural del sistema de número de incluir ratios que comparan tres o más cantidades. Hay ninguna descripción matemática, en términos de un "sistema de numeración" o de otra manera, de las razones que constan de tres o más elementos, tales como $1:2:5$ (es decir, una manzana por cada 2 naranjas por cada 5 papayas)?

Answer 1

Para representar una parte de múltiples "ratio" $a_1:\cdots:a_n$, donde cada una de las $a_i$ es un número entero, yo sugeriría un elemento del espacio proyectivo $\mathrm{P}_\mathbb{Q}(\mathbb{Q}^n)$ (ver Wikipedia), que es el conjunto de clases de equivalencia de $$\mathbb{Q}^n\setminus\{(0,\ldots,0)\}$$ en virtud de la equivalencia de la relación de $\sim$, donde $$(a_1,\ldots,a_n)\sim(b_1,\ldots,b_n)\iff \text{there is some $\lambda\in\mathbb{Q}$ such that }a_i=\lambda b_i \text{ for all }i$$ Denota la clase de equivalencia de a$(a_1,\ldots,a_n)$$(a_1:\cdots:a_n)$, puede riguroso declaraciones como $$(1:2:5)=(3:6:15)\qquad (1:1)=(7:7)=(\tfrac{1}{3}:\tfrac{1}{3})$$ Sin embargo, esto no es realmente un "sistema de numeración" de la misma manera $\mathbb{Q}$ es (no tiene natural de la estructura de anillo).