Probabilidad de tres bolas blancas y una roja

Question

Tres chicos juegan a un juego de la siguiente manera. Ponen tres bolas blancas y una roja en una caja. Andy, Bruce y Charles, en este orden, eligen cada uno una bola al azar de la caja, sin reemplazo. El que consiga la bola roja gana. Si ninguno de los tres saca la bola roja, nadie gana. ¿Cuál de los tres chicos tiene más probabilidades de ganar?

Como las bolas no se sustituyen, pensé que Charles debería tener la mayor probabilidad, pero parece que todos tienen las mismas posibilidades de ganar. ¿Cómo es posible?

Answer 1

Un ganador: $$P(R_A)=\frac{1}{4}.$$ B ganando: $$P(W_A)P(R_B|W_A)=\frac34 \cdot \frac13 = \frac14.$$ C ganando: $$P(W_A)P(W_B|W_A)P(R_C|W_A\cap W_B)=\frac34 \cdot \frac23 \cdot \frac12=\frac14.$$

Answer 2

Supongamos que en la caja hay una bola negra, una verde, una azul y una roja. Se sacan tres bolas una a una sin reemplazarlas.

¿Tiene la bola roja una probabilidad menor o mayor de salir en la tercera extracción que, por ejemplo, la bola verde? No, por lo que la probabilidad de que salga en la tercera extracción es $\frac14$ .

El mismo razonamiento nos dice que esto también será cierto para el primer o segundo sorteo.

Answer 3

Hay 4 posibilidades en las que se pueden extraer las bolas (de la primera a la última):

R W W W, W R W W, W W R W, W W W R

Cada una es igual de probable. Por lo tanto, tanto si eres el primero como el tercero, tienes 1/4 de probabilidad de sacar la bola roja.

Answer 4

Sea $X_i$ denotan el suceso de que se extrae una bola roja en $i$ th sorteo y $X_i^{C}$ indica que se extrae una bola blanca en $i$ sorteo.

$P(X_1) = 1/4 = 1-P(X_1^{C})$

$P(X_2 | X_1) = 0$ et $P(X_2|X_1^{C}) = 1/3$ implica,

$$P(X_2) = P(X_2|X_1)P(X_1) + P(X_2|X_1^{C})P(X_1^{C}) = 0 + (1/3)\cdot(3/4) = 1/4$$

Del mismo modo, $P(X_3) = P(X_3|X_1^C,X_2^C)P(X_2^C|X_1^C)P(X_1^C) = (1/2)\cdot(2/3)\cdot(3/4) = 1/4$

Obsérvese que los demás términos del lado derecho de la primera igualdad anterior serán cero (porque en todos esos términos el condicionamiento estará en la bola roja ya extraída en la primera o en la segunda extracción). Por ejemplo, $P(X_3|X_2,X_1^C)P(X_2|X_1^C)P(X_1^C) = 0 \cdot (1/3) \cdot (3/4) = 0$

Por lo tanto, las probabilidades incondicionales de ganar son las mismas.

Answer 5

Esto equivale a disponer las cuatro bolas en una de $4! = 24$ permutaciones, y luego dando la primera bola a Andy, la segunda a Bruce y la tercera a Charles. No hay ninguna razón para que la bola roja aparezca más a menudo en uno de los cuatro lugares que en el otro, ya que todas las permutaciones tienen la misma probabilidad.

Para ver por qué, tenga en cuenta que cada persona elige completamente al azar, por lo que no hay ninguna razón para favorecer una permutación sobre otra.