¿Por qué es la adición del mismo como que se extiende una longitud?

Question

Me he dado cuenta de que cuanto más estudias algo de matemáticas temas más me pregunta algunos de los resultados o ideas que me parecían triviales o evidente para mí. Mi pregunta es acerca de los números reales y su interpretación geométrica como una línea.

Entiendo que los números reales se está completa y ordenada son, naturalmente, se visualizan como un número de línea. Ahora, considere la posibilidad de dos números positivos $a$ $b$ y encontrar en ellos el número de línea. Se define la operación binaria $a•b$ como este: "tomar una brújula y un abierto de S $b$, ahora dibuje un círculo con el compás con $a$ como su centro. El punto de la derecha, donde el círculo interseca la línea es $a•b$".

Esto, por supuesto, corresponde a $a+b$, pero la razón no es obvio para mí. Intuitivamente, se utiliza, además, cuando nos "agregar" algo así, si estoy "agregar" un segmento de línea con la longitud de la $a$ a otro segmento de línea con la longitud de la $b$ de la longitud de la línea resultante debe ser $a+b$. Pero con una definición formal de la suma (a través de Dedekind recortes por ejemplo) que la propiedad de la suma, no parece que claro para mí. Supongo que mi pregunta es: ¿por qué se debe, además de corresponder a $a•b$? Por qué, si tengo un segmento de recta de longitud 3/2 y el otro de longitud 5/3 puedo estar seguro de que si me organizarlos para que uno comienza exactamente cuando el otro extremos, la longitud de la línea resultante será 19/6?

Por favor, perdóname si esta pregunta es demasiado obvio o trivial. Gracias!

Answer 1

Vamos a olvidar por completo de todas las nociones de número entero.

No es difícil mostrar esta operación (que voy a llamar a $\oplus$ en lugar de $\bullet$) tiene buenas propiedades algebraicas: es conmutativa, asociativa, y se respeta el orden de los segmentos de línea.

Junto a $\oplus$, se puede elegir algún segmento de ser una unidad, y el uso de otra construcción geométrica para definir una operación $\otimes$.

Estas dos operaciones en segmentos de línea que tienen muy buenas propiedades algebraicas; sin el uso de cualquier noción de número, hemos logrado construir un sistema en el que podemos hacer de la aritmética, el álgebra y el análisis — de hecho, una vez que añadimos en la noción de dirección, estas operaciones satisfacer la completa ordenado de campo axiomas.

¿Cuál es la longitud de un segmento de línea? El segmento de línea en sí. Además es literalmente se define como "la ampliación de la longitud".

---

Yo creo que esta descripción general es un relativamente exacta descripción de la verdadera historia — por ejemplo, que los geómetras griegos hicieron de álgebra con segmentos de línea, teniendo en cuenta los segmentos a sí mismos como una noción de la cantidad; por ejemplo, ver los elementos de Euclides, libro 2. El número real de sistema surgió precisamente como representaciones numéricas de estos objetos geométricos

De hecho, AFAIK, durante mucho tiempo los matemáticos consideran los números de la cuantificación de la longitud y los números de la cuantificación de la zona como completamente distintos tipos de números, en lugar de el punto de vista hoy en día, donde ambos tipos de cantidades son descritos por el mismo número de sistema, pero posiblemente con unidades adjuntas.

La perspectiva que atiende a los números reales como más fundamental de nociones geométricas es, creo que, principalmente, un artefacto de cómo la matemática que se enseña en los tiempos modernos.

Answer 2

En tu ejemplo, si usted multiplica por $6$, hace sobre números enteros. Es decir, $$ \frac32+\frac53=\frac16 \, (9 + 10) = \frac16\ (9\, \bullet\, 10) = \frac32\, \bullet\, \frac53. $$ Todo lo que necesita creer en la igualdad anterior es que las dos operaciones están de acuerdo en los números enteros (puede ver el número entero como "unidades de cuenta" para ver como una longitud), y que dividiendo por un número entero conserva la escala.

Una vez que el argumento de los racionales, se extiende a los reales por continuidad.

Answer 3

Hay un imaginario (o resumen ) de la colección se llama el conjunto de los números reales con las operaciones y ordenar de manera que se convierte en lo que técnicamente se llama un número real del sistema, que es un orden de campo con el menor límite superior (o mejor llamado el fin de la integridad de la propiedad) .Esto es independiente de la realidad ,es una cuestión de la teoría de conjuntos y la lógica .Ahora bien, la razón para el gran interés que tiene es que una interpretación natural en la realidad como los puntos de una línea recta dibujada decir en una hoja de papel grande ,bueno, por supuesto que sólo muestran un trozo de la línea, pero ignorar que. Su pregunta es, realmente, ¿cómo se puede asignar un número real a los puntos de la línea dibujada . Bueno en primer lugar, usted solo tiene que marcar el 0 en algún lugar . A continuación, poner 1 en algún lugar ,decir a la derecha de 0 Ahora hacer su brújula de la construcción con a=0 y b=1 ,El número real 2(por definición)= 1+1 se asigna al punto obtenidos con la brújula ,Ahora repita la construcción para obtener las posiciones o 3=2+1 ,4=3+1 , 5 =4+1 etc .La ciencia acaba de decir el uso de la igualdad de espaciado . Ahora hay una gran cantidad de trabajo con la inducción de tipo de argumentos para obtener sólo los enteros coloca a la derecha y cosas por el estilo 5+3 = (5 + 2) + 1 =(5+1)+1)+ 1 para entender de dónde colocar a+b por sólo números enteros .Ahora usted tiene que averiguar dónde las fracciones ir y, a continuación, uno de los rellenos en el resto de los reales suponiendo que la línea dibujada es lo que se llama un continuum (entre 2 puntos distintos no importa qué tan cerca hay puntos intermedios . Esto no es físicamente true si se mira bajo un microscopio de gran alcance en su mano dibujado la línea, pero es una idealización que es útil . De cualquier manera cuando haya terminado usted debe ver empíricamente ,tan claro como cualquier parte de la ciencia física que es hacer su brújula de la construcción en a y b, que el punto que se obtiene corresponde a la abstracta número real a+b . Bien lo que están pidiendo es realmente no es trivial . Un último punto .Uno puede, lógicamente, construir el número real del sistema de los números enteros en la teoría de conjuntos y de cada paso de la construcción puede ser interpretado en su línea dibujada . Toda esta interpretación es empírica ,la ciencia real ,no sólo en matemáticas abstractas (que es más preciso ) ,se acepta de forma experimental debido a que se trabaja. Espero que esto ayude .

Answer 4

Basado en el folleto, sección 7: $(A_1,B_1)+(A_2,B_2)=(A_1+A_2,B_1+B_2)=(A_3,B_3)$ es un Dedekind cortar la definición de adición. Citando el documento: "$A_3$ es el conjunto de todos los racionales de la forma $a_1 + a_2$ donde$a_1 \in A_1$$a_2 \in A_2$". Asimismo, para $B_3$.

Si la definición de " $∙$ en términos racionales equivalentes a $+$ es lo suficientemente bien establecidas para las otras respuestas, entonces las cantidades $A_1+A_2,B_1+B_2$ puede ser reformulada como $A_1∙A_2,B_1∙B_2$. Por lo tanto, produciendo una clara relación entre la definición de adición en términos de Dedekind los recortes y la $∙$ operador. Y la ampliación de $∙$ a los reales.