¿Por qué un número de dígitos de $20$ a partir de once $1$ ' s no puede ser un cuadrado perfecto?

Question

¿Por qué un número de dígitos de $20$ a partir de once %#% de #% no puede ser un cuadrado perfecto?

No he podido averiguar las propiedades de cuadrados perfectos no permite un número de ser un cuadrado perfecto.

Answer 1

Eso es porque\begin{align*}3\,333\,333\,333^2&<11\,111\,111\,111\,000\,000\,000\\&<11\,111\,111\,111\,999\,999\,999\\&<3\,333\,333\,334^2.\end{align*}

Answer 2

Agregar a la respuesta de José Carlos Santos, aquí es una manera de calcular la raíz cuadrada aproximada a mano eficientemente:

$$\sqrt{11111111111000000000} < \sqrt{11111111111111111111 + \frac{1}{9}} < \sqrt{11111111111999999999}$$ $$\sqrt{11111111111111111111 + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{10^{20}}{9}} = \frac{10^{10}}{3} = 3333333333 + \frac{1}{3}$$

Entonces, cómo comprobar que los cuadrados vecinos caen fuera del rango deseado, con la mano:

\begin{align*} \left\lfloor\frac{10^{10}}{3}\right\rfloor^2 &= \left(\frac{10^{10}}{3} - \frac{1}{3}\right)^2 \\ &= \left(\frac{10^{10}}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{10^{10}}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}\right)^2 \\ &= \frac{10^{20}}{9} - \frac{2\times10^{10} - 1}{9} \\ &< \frac{10^{20}}{9} - \frac{10^9}{9} \\ &= 11111111111000000000 \end{align*}

\begin{align*} \left\lceil\frac{10^{10}}{3}\right\rceil^2 &= \left(\frac{10^{10}}{3} + \frac{2}{3}\right)^2 \\ &= \left(\frac{10^{10}}{3}\right)^2 + 2\left(\frac{10^{10}}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right) + \left(\frac{2}{3}\right)^2 \\ &> \frac{10^{20}}{9} + \frac{4\times10^{10}}{9} \\ &> \frac{10^{20}}{9} + \frac{8\times10^9}{9} \\ &= \frac{10^{20}}{9} - \frac{10^9}{9} + 10^{9}\\ &= 11111111111000000000 + 10^{9} \\ &> 11111111111999999999 \end{align*}

Answer 3

Vamos a ver más en general, que un $2n$dígitos de la plaza no puede comenzar con $n+1$ $1$'s.

Tenga en cuenta que el más pequeño $2n$-número de dígitos que comienzan con $n+1$ $1$'s es

$$11{\ldots}110{\ldots}0={10^{2n}-10^{n-1}\over9}$$

y el más grande es

$$11{\ldots}119{\ldots}9={10^{2n}-10^{n-1}\over9}+10^{n-1}-1={10^{2n}+8\cdot10^{n-1}-9\over9}$$

Desde $10^{n-1}\lt2\cdot10^n-1$ mientras $8\cdot10^{n-1}-9\lt2\cdot10^n+1$, obtenemos

$$\left(10^n-1\over3 \right)^2={10^{2n}-2\cdot10^n+1\over9}\lt{10^{2n}-10^{n-1}\over9}=11{\ldots}110{\ldots}0$$

mientras

$$11{\ldots}119{\ldots}9={10^{2n}+8\cdot10^{n-1}-9\over9}\lt{10^{2n}+2\cdot10^n+1\over9}=\left(10^n+1\over3\right)^2$$

Por lo tanto si $11{\ldots}110{\ldots}0\le N\le11{\ldots}119{\ldots}9$, luego

$${10^n-1\over3}\lt\sqrt N\lt{10^n+1\over3}\lt{10^n+2\over3}$$

Pero $(10^n-1)/3$ $(10^n+2)/3$ son números enteros consecutivos (su diferencia es $1$). Por lo $\sqrt N$ no puede ser un número entero.

Observación 1: Esta respuesta debe mucho de su lógica a un ya eliminado respuesta por achille hui.

Observación 2: Esta respuesta fue motivada por JollyJoker el primer comentario de debajo de la OP. JJ seguimiento hay comentarios deja en claro que las plazas con un $2n+1$ dígitos puede comenzar con más de $n+1$ $1$'s.

Answer 4

No hay ningún número entero entre $\sqrt{11111111111000000000}$y $\sqrt{ 11111111112000000000}$

Answer 5

Dejar que me explique cómo sería este enfoque manualmente (sin exceso de cálculos o de las calculadoras); la conclusión será la misma que en la respuesta de José Carlos Santos. Una cierta cantidad de cómputo es inevitable, ya que los números son grandes. De hecho, aún más, es cierto que su problema se afirma; no hay número de 20 dígitos con diez principales que es un cuadrado perfecto.

En primer lugar, observar que $$ (0.333\dots)^2=(1/3)^2=1/9=0.111\puntos $$ Un número de 20 dígitos con muchos líderes estará cerca de $10^{20}\times0.111\dots$, por lo que su raíz cuadrada estará cerca de $10^{10}\times0.333\dots\approx3\,333\,333\,333$.

Esto significa que tenemos un aproximado de la raíz cuadrada $a=3\,333\,333\,333$. Hasta el momento, no sabemos cómo de buena es esta aproximación es. Ahora, la informática, la plaza de esta $a$ es un poco laborioso. En primer lugar, se espera que puedan convencerse de que $$ (1\,111\,111\,111)^2=1\,234\,567\,900\,987\,654\,321. $$ Para ver esto, hay que multiplicar el número de $1\dots1$ con $1$, $10$, $100$ y así sucesivamente, y la suma de estos un patrón surgirá. Para obtener el cuadrado de $a$, se multiplica por $3^2=10-1$. Esto es bastante simple, dada la estructura del número anterior, por lo que $$ un^2=11\,111\,111\,108\,888\,888\,889. $$ Un método alternativo para cuadrar $a$ se sugirió en un comentario por James Waldby: Desde $a=\frac13(10^{10}-1)$,$a^2=\frac19(10^{20}-2\cdot10^{10}+1)$.

El siguiente entero cuadrado es $$ (a+1)^2=a^2+2a+1=11\,111\,111\,155\,555\,555\,556, $$ que a su vez es bastante fácil de calcular mentalmente ya que los números son tan agradables.

Desde los dos números $$ 11\,111\,111\,108\,888\,888\,889\text{ y}\\ 11\,111\,111\,155\,555\,555\,556\phantom{\text{ y}} $$ son enteros consecutivos plazas, no entero cuadrado de 20 dígitos, comienza con una carrera de más de nueve.

Si en lugar de cálculos precisos que utiliza crudo aproximaciones, usted todavía obtener el resultado deseado para la once.