¿Valen las pruebas Metalógica?

Question

Estoy leyendo algunos materiales sobre lógica matemática. ¿Me pregunto cómo podemos "probar" características metalogical (solidez, integridad, etcetera.)? Como en este punto, el sistema de prueba no ha sido verificado aún. ¿No es esto una pregunta del huevo y la gallina (luego podemos tener meta Metalógica)? ¿Qué tipos de pruebas se consideran válidas en este momento?

Answer 1

Respuesta corta: sí, es esencialmente un huevo y la gallina, problema, o tal vez una hermenéutica círculo o una espiral. La interpretación común de los teoremas de incompletitud es que esta circularidad no puede ser evitado.

Usted puede utilizar normal razonamiento matemático para la metatheory - que no es formalizado en el primer lugar - o usted puede elegir algunos teoría formal. En el último caso, se puede elegir un fuerte metatheory, como ZFC, o más débil, como la PRA.

En principio, entonces usted podría ser capaz de elegir una meta-metatheory, un meta-meta-metatheory, etc., pero en la práctica casi todos los temas interesantes llegar a la teoría/metatheory nivel, y los niveles superiores sólo tiene que repetir estos temas en lugar de dar a los nuevos temas.

Answer 2

En realidad este no es un desacuerdo con Carl Mummert la respuesta, pero otra manera de pensar acerca de ello. No, No es circular. Pero no demostrar lo que se puede imaginar que probar.

Todas las pruebas reales en matemáticas están en lo que llamamos "matemático inglés", que creen que todo esto es completamente sólida como una roca, pero esencialmente es en la forma de las frases y los párrafos y así sucesivamente. A veces (rara vez) que incluso diagrama de esas sentencias y convertirlos en algo que se parece más a las fórmulas, y seguir reglas rígidas (ver "de Russell juego en el papel de" la interpretación de las matemáticas), pero en última instancia, la idea es "completamente convencido" de que un enunciado es verdadero.

La informalidad de la de arriba es completamente necesario e inevitable!

Cuando nos "demostrar teoremas sobre teoremas" o cualquier otro meta-matemática idea, lo que realmente es el diseño (en nuestro matemáticas informales en inglés) un modelo en el que representamos a las declaraciones de los números, y así sucesivamente, de modo que se puede decir "de este número representa una sentencia" y "este número representa una prueba de esta afirmación a partir de este conjunto de declaraciones" y así sucesivamente, en realidad estamos haciendo una declaración acerca de los números.

Usted convencerse de que esta declaración acerca de los números naturales es realmente el mismo que el metamathematical declaración de que te importan. Esto no puede ser formalizado, sino que debe ser visto como algo "obvio" una vez que se ha explicado adecuadamente. A continuación, puede probar esta afirmación acerca de los números en el normal sentido matemático.

Answer 3

Creo que Richard Rast la respuesta es básicamente correcto, pero quiero agregar un poco a ella.

Lógica ordinaria, tal como se practica por los matemáticos, los estudios de un formalizado copia de las matemáticas. Que los estudios que copiar utilizando las mismas herramientas y el mismo nivel de rigor, como en cualquier otro campo de las matemáticas. La gente se confunde con esto porque el objeto de estudio y las herramientas que se utilizan para estudiar un aspecto tan similar.

Por ejemplo, la solidez teorema especifica una relación entre ciertos objetos combinatorios (pruebas) y ciertos algebraica de los objetos (modelos). En la lógica matemática, el hecho de que estos objetos nos recuerdan pruebas matemáticas no tiene ninguna relación con lo que constituye una prueba de ello: el estándar de validez es la misma que para cualquier otro combinatoria prueba.

El uso de la lógica como fundamento filosófico de matemáticas es más delicada tarea, y es, fundamentalmente, un proyecto filosófico, no un matemático, aunque es evidente que tiene que estar muy informados por las ideas matemáticas. Allí, como en cualquier otro intento de una fundación para las matemáticas, la cuestión de lo que puede ser tomado como básico y lo que se construye en la parte superior de lo que es muy difícil. En particular, los materiales en la lógica matemática no suelen ocuparse de estas cuestiones.

Answer 4

Sí, es todo circular. Usted puede tener casos extraños (quizás no en matemáticas), fueron están demostrando cosas metateóricos en una lógica diferente (muchas clasificadas, polivalued, de segundo orden, etc.), pero su teoría no es en primer orden. En matemáticas esto no sucede, lo sé, pero en lógica la gente hacer estas combinaciones extrañas. Pero una vez más en estos casos son kind'a cirular porque tienes que saber la teoría de la metateoría, por lo que uno asume.