Hay (al menos) cinco interesantes versiones de la cuántica grupo en una raíz de la unidad.
El Kac-De Concini forma:
Esto es lo que pasa si usted acaba de tomar la evidente forma integral y se especializan q a una raíz de la unidad (puede que desee desactivar la denominadores primera, pero que sólo afecta a un par de pequeñas raíces de la unidad). Esta es pensado como una versión cuantizada de chorros de funciones en la distribución de Poisson dual grupo. Es la característica más importante es que tiene una muy grande en la parte central de Hopf subalgebre (generados por la lth poderes de la norma generadores). En particular, su teoría de la representación se sienta más de Especificación de la grande en el centro, que es necesariamente un grupo y resulta ser la de Poisson dual grupo. También tiene una pequeña cociente álgebra de Hopf cuando se mata el gran centro.
Las principales fuentes para la estructura de la finitos representaciones tridimensionales son documentos por subconjuntos de Kac-DeConcini-Procesi (la estructura de las representaciones depende de la simpléctica de la hoja en G*, en particular, no son "genéricos" que vienen de la gran celular), así como algunos de los más recientes trabajos de Kremnitzer (probar algunos de los mejores resultados acerca de las dimensiones de la no-genérico representaciones) y por DeConcini-Procesi-Reshetikhin-Rosso (dando el producto tensor reglas genéricas reps). La aplicación principal que yo conozco de esa forma integral es invariantes de nudos, junto con una estructura hiperbólica en el complemento y a los invariantes de hiperbólico 3-variedades debido a Kashaev, Baseilhac-Bennedetti, y Kashaev-Reshetikhin. La esperanza es que estos invariantes va a arrojar algo de luz sobre el volumen de la conjetura.
El Lusztig forma:
Aquí se inicia con la integral de la forma en que se ha dividido los poderes. Estructuralmente este tiene un pequeño subalgebra generado por la costumbre de los generadores (E_i, F_i, K_i), ya que E^l = 0. El cociente por este subalgebra da la costumbre universal que envuelve el álgebra a través de algo llamado quantum Frobenius mapa. La principal representación que la gente mira son la "inclinación de los módulos." La inclinación de los módulos tienen una descripción técnica, pero el punto importante es que la indecomposable la inclinación de los módulos son exactamente los sumandos del tensor de productos de las representaciones fundamentales. Indecomposable la inclinación de los módulos son indexados por los pesos en la cámara de Weyl. El "principio de vinculación", dice que en el interior de la descomposición de la serie de un determinado indecomposable módulo de inclinación usted sólo tiene que mirar a la Weyl módulos con más altas calificaciones dadas por elementos más pequeños en un cierto afín Weyl grupo de órbita.
Es el Lusztig forma integral (no especializados) que es importante para categorification. El Lusztig forma en una raíz de la unidad es importante para las relaciones entre los grupos cuánticos y representaciones algebraicas de los grupos y de las relaciones para afín álgebras de lie. Las principales fuentes son la Lusztig y HH Andersen (y su colaborators). Yo también soy aficionado a la de un papel de Sawin's que hace un muy buen trabajo de limpieza de la literatura.
El Lusztig forma integral es también el natural de un quantum punto de vista de topología. Por ejemplo, si usted comienza con la Temperley-Lieb álgebra (o, equivalentemente, enredos modulo el Kauffman soporte de las relaciones) y se especializan q a una raíz de la unidad, lo que termina con la planar de álgebra para la inclinación de los módulos para el Lusztig forma en que la raíz de la unidad.
El pequeño cuántica grupo:
Este es un finito dimensionales álgebra de Hopf, aparece como un cociente de la K-DC formulario (quotienting por la gran central subalgebra) y como una subalgebra de la Lusztig forma (generada por el estándar de generadores). Tengo entendido que la teoría de la representación no es muy bien entendido. Pero ha habido algún trabajo recientemente por los Romanos de Bezrukavnikov y otros. También escribí un post en el blog sobre lo que la teoría de la representación se ve como en este caso, para uno de los más pequeños ejemplos.
El semisimplified categoría:
A diferencia de los otros ejemplos, esta no es la categoría de representaciones de un álgebra de Hopf! (Aunque como todos los de la fusión de las categorías es la categoría de representaciones de un débil álgebra de Hopf.) Se inicio con la categoría de inclinación de los módulos para el Lusztig forma o la categoría de finito representaciones tridimensionales de la pequeña cuántica grupo y, a continuación, que "semisimplify" matando a todos "insignificante morfismos." Una de morfismos es insignificante si te da 0, no importa cómo se "cierre". Alternativamente, el insignificante morfismos son el núcleo de un determinado producto interior en el Hom espacios. La resultante de la categoría es semisimple, su teoría de la representación es un "truncado" la versión de la costumbre teoría de la representación. En particular, el único superviviente de la representación son aquellos en los que el "Weyl alcoba", que es como el Weyl cámara, excepto su sido cortada por una línea perpendicular a l veces que un determinado peso fundamental (ver Sawin del papel por la línea correcta que depende sutilmente en el tipo de raíz de la unidad).
Este ejemplo es la principal fuente de modular las categorías y de la interesante fusión de las categorías. Su principal aplicación es en la 3-variedad invariantes de Reshetikhin-Turaev (donde este cociente aparece por primera vez, creo) y Turaev-Viro. Para los invariantes es muy importante que su trenzado tensor de la categoría sólo tiene un número finito de diferentes objetos simples.
La media dividida poderes de forma integral:
Este aparece en la obra de Habiro universal de las versiones de la Reshetikhin-Turaev invariantes y en la integralidad de los resultados relativos a estos invariantes. De esta forma integral se parece a la Lusztig formulario en la parte superior de Borel y como el K-DC forman en la parte inferior Borel. La ventaja fundamental es que en la construcción de la R-matriz a través de la Drinfeld el doble de lo que debe buscar en algo como U_q(B+) \otimes U_q(B+ a)* y resulta que el doble de la Borel sin dividido los poderes es el Borel dividido los poderes, y viceversa. Ha habido muy poco trabajo hecho en este caso, más allá del trabajo de Habiro.
