¿Es Dirac ' función delta bien definida en los puntos de Lebesgue?

Question

Generalmente en los libros de texto, $$\int_{\mathbb{R}^d} \delta(\mathbf{x}-\mathbf{y})f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{y})$$ tiene determinado $f$ es continua. Por otro lado, la definición de Lebesugue punto de $\mathbf{y}$ es que el siguiente límite existe $$ \lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{1}{|B_{\epsilon}|}\int_{B_{\epsilon}}f(\mathbf{x}), $$ donde $B_{\epsilon}$ es la bola de radio $\epsilon$ centrado alrededor de $\mathbf{y}.$ Lebesgure diferenciación teorema dice que para $L^1(\mathbb{R}^d)$ función casi cada punto es un punto de Lebesgue.

Todos estos hechos me dejó pensar la función delta es también bien definida en casi todas partes para $f\in L^1(\mathbb{R}^d)$ debido a que la definición de Lebesgure punto es exactamente un ejemplo de aproximación de la función delta. Más precisamente, la definición de la delta funcionales de ser extendida al dominio de $L^1$ de esta manera?

Para la función delta, tomamos esta definición: La función delta es una generalización de la función que puede ser definida como el límite de una clase de secuencias delta. Mi pregunta es extender esta funcional a $L^1$ tal que la extensión del delta función es lineal y acotado funcional en $L^1.$

Answer 1

Me parece que uno puede fácilmente ampliar la definición para que, para cada $f\in L^1$, para casi todas las $a$, $\int\delta(x-a)f(x)\,dx$ se define; a definir que es el límite en el teorema de la densidad de Lebesgue. Pero parece los cuantificadores en el otro orden: casi todos $a$, para todos los $f\in L^1$, $\dots$ %. No veo ninguna forma razonable para llegar a esta. Es decir, "casi todos" se refiere a un conjunto de medida cero de excepción, y veo que no hay manera de hacerlo que independiente del $f$.

Answer 2

(Demasiado largo para un comentario)

En mi opinión, esta es una curiosidad interesante y creo que la respuesta correcta es lo que Andreas ha dicho - simplemente definen $\langle \delta_a,f\rangle$ como el límite de Lebesgue. Esto le puede ahorrar un poco de espacio si necesitas decir algo como "el valor de $f$ $x$" en el contexto de una $L^1$ función (para el cual los valores de la función no suelen ser definida de forma única, como señala T. A. E.). Sin embargo yo no puedo ver esta siendo de mucha utilidad más allá de ese contexto, en lo que a la distribución de la teoría. El punto entero de la teoría de distribuciones es trabajar con tan agradable de una función de prueba de espacio como sea posible de modo que usted puede tratar la "desagradable" distribuciones. En este sentido $L^1$ (o cualquier espacio definido en términos de propiedades de integrabilidad) hace una muy baja función de prueba de espacio porque es demasiado "grande". De hecho, la mayoría del tiempo funciona exactamente al revés - $L^1_{loc}$ sirve como nuestro espacio de "regular" de las distribuciones, es decir, se prueba con $L^1$ funciones, no en $L^1$ funciones.

Answer 3

Un elemento de $L^{1}$ es una clase de equivalencia de funciones que son a.e. igual. Elementos de $L^{1}$ no tienen valores pointwise. Valores del punto pueden tener sentido para casos específicos, como cuando hay una función en la clase de equivalencia que pasa a ser continuo--es porque si existe tal función en la clase de equivalencia, entonces no puede haber una diferente función continua de la misma clase de equivalencia. Sin embargo, los valores de punto se determinan en general.