Que $Y$ es invertible

Question

Sea X un $40\times40$ matriz tal que $X^3 = 2I$. Quiero mostrar que la $Y= X^2 -2X + 2I$ es invertible así.

He intentado trabajar con las ecuaciones para ver si puedo conseguir Y como un producto de matrices que yo pensaba que iba a ser invertible como $X$ o $X-I$ o $X^2+X+I$, pero no pude conseguir nada.

También me pregunto si puedo usar las propiedades de fila y columna de espacios para el planteamiento de esta pregunta. Sé que $X$ es invertible, por lo $det(X) \ne 0$, por lo que los vectores columna de a $X$ son linealmente independientes y, por tanto, su rango es de 40. Todavía no sé cómo puedo hacer uso de este.

Answer 1

$$X^3-2I=0,$$therefore the eigenvalues $\lambda_j(X)$ of $X$ can be only the roots of the equation $z^3-2=0$. The eigenvalues $\mu_j(Y)$ of $Y=X^2-2X+2I$ have the form $\lambda_j^2-2\lambda_j+2$. You only need to show that $\mu_j(Y)$ no puede ser cero.

Segunda opción: tratemos de encontrar la inversa de a $Y$ directamente. Vamos a buscar que en la forma $Y^{-1} = aX^2+bX+cI$. Técnicamente, $Y$ es un polinomio de $X$, por lo que podemos encontrar su inversa como una serie de $\sum_{k\ge 0} a_kX^k$, pero, como $X^3=2I$ nos quedamos con sólo tres poderes de $X$.

Ahora escribo $$I= YY^{-1} =(X^2-2X+2I)(aX^2+bX+cI)=aX^4-2aX^3+2aX^2+bX^3-2bX^2+2bX+cX^2-2cX+2cI$$ $$=2aX-4aI+2aX^2+2bI-2bX^2+2bX+cX^2-2cX+2cI.$$ El grupo de los términos en $I$,$X$, y $X^2$: $$I= X^2(2a-2b+c)+X(2a+2b-2c)+I(-4a+2b+2c).$$ Ahora resolver el sistema $$-4a+2b+2c=1\\2a+2b-2c=0\\2a-2b+c=0.$$ Se tiene una solución única, por lo tanto, $Y^{-1}$ existe.