¿Existe un contraejemplo para la afirmación en el tema de la pregunta, que una suma de dos conjuntos cerrados en $\mathbb R$ ¿está cerrado? Si no es así, ¿cómo podemos demostrarlo?
(Por suma de conjuntos $X+Y$ Me refiero al conjunto de todas las sumas $x+y$ donde $x$ está en $X$ y $y$ está en $Y$ )
Gracias.
Vale la pena mencionar que :
si uno es cerrado + acotado, otro es cerrado, entonces la adición es cerrada
Dado que la cerrazón se puede caracterizar por la secuencia en $\Bbb{R}^n$ Si $(x_n) \in A+B$ tenemos que demostrar que el límite de la secuencia de convergencia todavía se encuentra en ella. $A$ es compacto $B $ está cerrado.
Desde $x_n= a_n +b_n \to x$ la compacidad implica la compacidad secuencial, por lo que $a_{n_k} \to a\in A$ para alguna subsecuencia. Ahora $x_{n_k} \to x$ lo que significa que la subsecuencia $b_{n_k}\to x-a$ convergen, ya que $B$ está cerrado, $x-a \in B$ Por lo tanto $x = a+b \in A+B$ lo que significa que la suma está cerrada.
Toma $A=\{(a,0):a\in\mathbb{R}$ y $B=\{(b,\frac{1}{b}):b\in \mathbb{R}-\{0\}\}$ . Entonces ambos $A,B\subset \mathbb{R}^2$ están cerradas. Pero $A+B=\{(a+b,\frac{1}{b}):a\in \mathbb{R},b\in \mathbb{R}-\{0\}\}.$ La secuencia $\{(0,\frac{1}{n})\}=\{(n-n,\frac{1}{n})\}\subset A+B$ pero el límite $(0,0)$ que no está en la suma.
La suma $E +F$ puede no cerrarse aunque $E$ y $F$ están cerradas. Por ejemplo, establezca $E = \{(x, y) \in \mathbb R^2 : y > 1/x\text{ and }x > 0\}$ y $F = \{(x, y) \in\mathbb R^2 : y > -1/x\text{ and }x < 0\}$
Entonces $E$ y $F$ están cerradas, pero $$E + F = \{(x, y) \in \mathbb R^2 : y > 0\}$$ no está cerrado.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
0 votos
¿Cuenta esto como un duplicado de este ?
0 votos
Es terriblemente similar, y probablemente sea bastante sencillo demostrar que es una pregunta equivalente. Sin embargo, creo que la redacción es lo suficientemente diferente como para que no cuente como un duplicado exacto.
11 votos
Como muestra David, la respuesta es no. Sin embargo, la suma de un conjunto cerrado y un conjunto compacto es cerrada.