Equivalencia a la acción correctamente discontinua

Question

Deje $X$ ser un espacio métrico y deje $G$ ser un grupo de homeomorphisms $X \to X$ actuando en $X$. Podemos decir $G$'s de acción es propiamente discontinua en el caso de que para cada $x \in X$ y compacto $K \subseteq X$, hay en la mayoría de un número finito de $g \in G$ tal que $g(x) \in K$. Equivalentemente, (y esto no es difícil de demostrar), $G \cdot x$ es discreto y $G_x$ finito para cualquier $x$.

¿Por qué se da el caso de que $G$ actúa correctamente de forma discontinua si y sólo si para cualquier compacto $K$, $g(K) \cap K \ne \emptyset$ para sólo un número finito de $g$? Una dirección es relativamente fácil, pero yo simplemente no parecen probar que el "sólo si". De lo mejor que he podido hacer es finito $K$ (que es la mejor cosa siguiente cuando no tienes ni idea de probar algo compacto conjuntos, supongo).

Answer 1

He echado un vistazo en Svetlana Katok "Fuchsian grupos", y estoy realmente confundido.

Por ejemplo, se ha demostrado en ese libro que $G$ actúa correctamente de forma discontinua en $X$ fib cada punto de $x \in X$ tiene un vecindario $U_x$ tal que $U_x \cap gU_x$ es no vacío de sólo un número finito de $g \in G$. (No entiendo el "si" de la parte, y no creo que esto se aplica en general).

Aunque, vamos a ser $G$ el grupo de todos los (continua) transformaciones $f_n$, $n \in \mathbb{Z}$, en el plano sin que la origine $(0,0)$,$f_n:(x,y) \mapsto (2^nx,2^{-n}y)$.

Uno puede ver fácilmente que para cada punto de $(x,y)$, un disco con este punto como centro y lo suficientemente pequeño radio se cruza con la órbita de $(x,y)$ sólo en un punto, por lo tanto la órbita de cada punto es un discret subconjunto, y es evidente que G actúa libremente en nuestra serie, por lo tanto el estabilizador de cada punto es finito.

Por otro lado, consideremos el segmento de $K = \{(t, 1-t)| 0 \leq t \leq 1 \}$, claramente $K$ es compacto, $K$ contiene para cada $n>0$ el elemento $P_n =(\frac{2^n-1}{2^{2n}-1}, \frac{2^n (2^n-1)}{2^{2n}-1})$, e $f_n(P_n) \in K\cap f_nK$. Por lo tanto, $K \cap f_nK$ no está vacía por una infinidad de elementos $f_n$$G$.

Answer 2

ver la fe de erratas publicado aquí: http://www.personal.psu.edu/sxk37/errata.pdf

donde katok escribe:

p.27 l.9: Reemplazar "métrica" por "localmente compacto métrica"

p.27 l.10: Reemplazar "homeomorphisms" por "isometrías".

p.27 l.-5-l.-3 Reemplazar "es claro a partir de la definición de que un grupo de $G$ actúa correctamente de forma discontinua en $X$ si y sólo si cada órbita es discreto y el estabilizador de cada punto es finito." por "Desde $X$ es localmente compacto, un grupo de $G$ actúa correctamente de forma discontinua en $X$ si y sólo si cada órbita tiene ninguna acumulación punto en $X$, y el fin de la estabilizador de cada punto es finito. La primera condición, sin embargo, es equivalente al hecho de que cada órbita de $G$ es discreto. Para, si $g_n(x) \to s \in X$, entonces para cualquier $\varepsilon > 0$, $\rho(g_n(x),\,g_{n+1}(x))< \varepsilon$ por lo suficientemente grande $n$, pero desde $g_n$ es una isometría, tenemos $\rho(g^{-1}_ng_{n+1}(x),\,x)< \varepsilon$, que mplies que $x$ es una acumulación punto de su órbita $Gx$, es decir, $Gx$ no es discreto."

Answer 3

Supongamos que hay un % compacto $K$tal que $g(K) \cap K \neq 0$ para infinitamente muchos $g$. Denotar por $L_k := g_k(K) \cap K$ donde $g_k, k\in \mathbb N$ están entre los elementos de $G$ para que la desigualdad sostiene. Ahora escoja cualquier secuencia $y_k \in L_k$. Porque $K$ es compacto, tenemos un subsequence convergente $y_{k_n} \to y$. Sino porque cada $y_{k_n} \in g_{k_n}(K)$ allí también debe ser una secuencia de $x_{k_n}$ $K$ tal que $g_{k_n} \cdot x_{k_n} = y_{k_n}$ y repito por compacidad es un subsequence convergente $x_{k_{n_m}} \to x$ $x_{k_n}$. Pero entonces no es discreto $g_{k_{n_m}}\cdot x \to y$.