Sea a~b si existe un $x \in G$ tal que $a=xbx^{-1}$

Question

Pregunta: Sea G un grupo. En cada una de las siguientes, se define una relación sobre G. Demuestre que existe una relación de equivalencia.

Sea a~b si existe un $x \in G$ tal que $a=xbx^{-1}$

Aquí está mi prueba hasta ahora:

Reflexivo: Necesitamos mostrar a~a. Como G es un grupo, por definición de grupo tiene un elemento identidad, por lo tanto $e \in G$ . Por lo tanto, $a=eae^{-1}$ y por lo tanto, a=a.

Simétrico Tengo problemas con la simetría:

Si a~b entonces b~a. En otras palabras, si $a=xbx^{-1}$ entonces $b=xax^{-1}$ . Empecé a trabajar en esto usando la condición inicial que es $a=xbx^{-1}$ pero tengo $b=x^{-1}ax$ .

Transitividad Si a~b y b~c, entonces a~c. Además, si $a=xbx^{-1}$ y $b=xcx^{-1}$ entonces $a=xcx^{-1}$ . Estaba trabajando en esto pero luego me doy cuenta de que me encuentro con el mismo problema con el simétrico.

Si alguien puede aclarar, entonces puedo avanzar con esta prueba.

Answer 1

Parece que ya está casi terminado.

Con respecto a la parte de la simetría, ¡realmente has terminado! Supone que $a\sim b$ y, por tanto, que existe un $x\in G$ , de tal manera que $a=xbx^{-1}$ . Entonces infiere que $b = x^{-1}ax$ y si dejas que $y=x^{-1}$ entonces $y\in G$ es un elemento tal que $b = yay^{-1}$ y así $b\sim a$ . Esto demuestra la simetría.

En cuanto a la transividad, hay que suponer que $a\sim b$ y que $b\sim c$ . Entonces existe $x,y\in G$ (¡nótese que estos dos elementos no tienen por qué ser iguales, como en su prueba!), tal que $a = xbx^{-1}$ y $b = ycy^{-1}$ . Entonces, como puedes ver, obtenemos $a = xycy^{-1}x^{-1}$ y así, si dejas que $z = xy$ obtenemos $a = zcz^{-1}$ , lo que por definición significa que $a\sim c$ .

Espero que esto tenga sentido para ti.