Simplificar $\left(\sqrt{\left(\sqrt{2} - \frac{3}{2}\right)^2} - \sqrt[3]{\left(1 - \sqrt{2}\right)^3}\right)^2$

Question

Yo estaba tratando de resolver este cuadrado de la raíz del problema, pero me parece que no entender algunos conceptos básicos.

Aquí está el problema.

$$\Bigg(\sqrt{\bigg(\sqrt{2} - \frac{3}{2}\bigg)^2} - \sqrt[3]{\bigg(1 - \sqrt{2}\bigg)^3}\Bigg)^2$$

La solución es la siguiente:

$$\Bigg(\sqrt{\bigg(\sqrt{2} - \frac{3}{2}\bigg)^2} - \sqrt[3]{\bigg(1 - \sqrt{2}\bigg)^3}\Bigg)^2 = \Bigg(\frac{3}{2} - \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2}\Bigg)^2 = \bigg(\frac{1}{2}\bigg)^2 = \frac{1}{4}$$

Ahora, lo que yo no entiendo es cómo la izquierda parte del problema se convierte en: $$\frac{3}{2} - \sqrt{2}$$

Porque pensé que $$\sqrt{\bigg(\sqrt{2} - \frac{3}{2}\bigg)^2}$$ es igual a $$\bigg(\bigg(\sqrt{2} - \frac{3}{2}\bigg)^2\bigg)^{\frac{1}{2}}$$ Que se convierte en $$\sqrt{2} - \frac{3}{2}$$

Pero como se puede ver que estoy equivocado.

Creo que hay un paso de valor absoluto que yo superviso/no entiendo. Así que ¿podrías por favor explicar por qué propiedad o de la regla de la raíz cuadrada es que este problema se resuelva?

Gracias de antemano

Answer 1

Muy bien poner la pregunta.

Tienes razón sobre el valor absoluto desaparecidos en algún lugar. En efecto, tenemos:

$$\sqrt{x^2} = |x|.$$

En su caso, hemos

$$\sqrt{\left(\sqrt{2}-\frac{3}{2}\right)^2}=\left|\sqrt{2}-\frac{3}{2}\right|.$$

Pero $\sqrt{2}-\frac{3}{2}$ es negativo, por lo que el valor absoluto de "elige" la versión positiva de este, que es,

$$\left|\sqrt{2}-\frac{3}{2}\right| = -\left(\sqrt{2}-\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2}-\sqrt{2}.$$

Espero que esto ayude.

Answer 2

Una raíz cuadrada es siempre un número negativo no lo $\sqrt{x^2}=|x|$