Prueba abstracta de que la preseaf interna hom es una gavilla

Question

Permítanme recordar primero algunas definiciones. Sea $D$ sea una categoría pequeña y que $J$ ser un Topología de Grothendieck en $D$ . Una presheaf $F$ en $D$ se llama gavilla cuando para cada tamiz de cobertura $\psi \in J(d)$ en algunos $d \in D$ el mapa natural $$F(d) \to \lim_{c \to d \in \psi} F(c)$$ es un isomorfismo. Si $F,G$ son presheaves, entonces su hom interno es el presheaf $G^F$ definido por $G^F(d) = \hom(F \times \hom(-,d),G)$ .

No es tan difícil calcular con elementos que si $G$ es una gavilla, entonces $G^F$ es una gavilla. Pero me gustaría ver una prueba abstracta de esto, que utilice principios generales como "los límites conmutan con los límites". Así es como me gustaría empezar: Sea $\psi\in J(d)$ . Entonces $$\lim_{c \to d \in \psi} G^F(c) = \lim_{c \to d \in \psi} \int_a \hom(F(a) \times \hom(a,c),G(a)) = \int_a \lim_{\substack{c \to d \in \psi \\ a \to c}} \hom(F(a),G(a))$$ Estoy bastante seguro de que el siguiente paso considera el tamiz de cobertura retirado $h^* \phi$ donde $h : a \to c$ y utiliza la propiedad de la gavilla de $G$ para este tamiz.

Answer 1

La prueba abstracta sin sentido más corta que conozco es la siguiente:

1. $\mathbf{Sh}(\mathcal{C}, J)$ es una subcategoría reflexiva de $\mathbf{Psh}(\mathcal{C})$ .
2. El reflector $\mathbf{Psh}(\mathcal{C}) \to \mathbf{Sh}(\mathcal{C}, J)$ preserva los productos finitos (de hecho, los límites finitos).
3. Una subcategoría reflexiva de una categoría cerrada cartesiana es un ideal exponencial si y sólo si el reflector preserva los productos finitos.

Para el último punto, véase la Proposición 4.3.1 en [ Bocetos de un elefante Parte A].

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Si eso es demasiado abstracto, he aquí un enfoque ligeramente diferente. Por definición, una gavilla es un objeto en $\mathbf{Psh}(\mathcal{C})$ que es ortogonal derecha a la clase de $J$ -cubrir los tamices $\mathfrak{U} \hookrightarrow \mathcal{C}(-, C)$ . Sea $\mathcal{M}$ sea la clase de todos los morfismos ortogonales a la derecha de la clase de $J$ -cubrir los tamices y dejar $\mathcal{E}$ sea la clase de todos los morfismos ortogonales a la izquierda de $\mathcal{M}$ . Por supuesto, un objeto que es ortogonal derecho a $\mathcal{E}$ sigue siendo lo mismo que una gavilla.

Ahora, $\mathbf{Sh} (\mathcal{C}, J)$ es un ideal exponencial si y sólo si $\mathcal{E}$ es un ideal de producto, en el sentido de que si $f : X \to Y$ está en $\mathcal{E}$ y $Z$ es un objeto en $\mathcal{E}$ entonces $f \times \mathrm{id}_Z : X \times Z \to Y \times Z$ también está en $\mathcal{E}$ . De hecho, se trata de un ejercicio sencillo de utilización de la adyacencia exponencial. Sólo nos interesa un sentido de la implicación, el que dice $\mathbf{Sh} (\mathcal{C}, J)$ es un ideal exponencial; así que (utilizando el hecho comparativamente más fácil de que $\mathbf{Sh} (\mathcal{C}, J)$ es cerrado bajo límites) basta con verificar lo siguiente: si $\mathfrak{U} \hookrightarrow \mathcal{C}(-, C)$ es un $J$ -que cubre el tamiz, entonces para cualquier $D$ en $\mathcal{C}$ , $\mathfrak{U} \times \mathcal{C}(-, D) \hookrightarrow \mathcal{C}(-, C) \times \mathcal{C}(-, D)$ está en $\mathcal{E}$ .

Sin embargo, al final hay que hacer un trabajo de verdad, y es éste. Si asumimos $\mathcal{C}$ tiene productos finitos entonces la afirmación es una consecuencia inmediata del axioma de pullback de las topologías de Grothendieck. En caso contrario, dejemos que $B$ sea un objeto en $\mathcal{C}$ , elija los morfismos $B \to C$ y $B \to D$ (es decir, un elemento de $\mathcal{C}(A, C) \times \mathcal{C}(A, D)$ ), y que $\mathfrak{V}$ sea el tamiz formado por aquellos morfismos $A \to B$ tal que el compuesto $A \to B \to C$ está en $\mathfrak{U}$ . De nuevo, por el axioma del pullback, $\mathfrak{V}$ es un $J$ -cubriendo el tamiz en $B$ . Así, $\mathfrak{U} \times \mathcal{C}(-, D) \hookrightarrow \mathcal{C}(-, C) \times \mathcal{C}(-, D)$ es el colímite (en $[\mathbb{2}, \mathbf{Psh}(\mathcal{C})]$ ) de un diagrama canónico de $J$ -cubrir los tamices. Pero es un hecho general que $\mathcal{E}$ se cierra bajo los colímetros, así que hemos terminado.

Answer 2

¿Qué pasa con el estudio de la gavilla en un topos elemental? Prueba por ejemplo el quinto capítulo de "Sheaves in Geometry and Logic" (que seguramente conoces), el Lemma 1 página 224 es lo que buscas.