Hay una función de $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $f\circ f\circ f=Id.$, pero $f\neq Id.$?

Question

¿Hay alguna función de $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, más que la identidad, de tal manera que $$f\circ f\circ f=Id.?$$

Esa es una pregunta fácil, pero, sorprendentemente, no soy capaz de decir nada al respecto. Si se requiere sólo $$f\circ f=Id.,$$ a continuación, hay algunas respuestas, como $f(x)=1/x$$f(x)=-x$, por ejemplo. Y si permitimos $f$$\mathbb{C}$, entonces la pregunta original también tiene algunas respuestas, como $f(x)=e^{2\pi i/3}x$. Pero ninguno de estos generalizar a $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $f^3=Id.$. ¿Tiene usted alguna idea?

Answer 1

Sin necesidad de la continuidad de la $f$, la respuesta es sí. Por ejemplo, definir $f(x) = x+1$$3n \le x < 3n+2$$x - 2$$3n+2 \le x < 3n+3$, para los números enteros $n$.

Answer 2

$$f(x)=\begin{cases}x+2 & \lfloor x \rfloor \equiv 0 \pmod{3}\\ x-1 & \text{ otherwise}\end{cases}$$