Demostrando que $\det(A)R^n \subset\mathrm{Im}(\Phi)$

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo con unidad y considerar la posibilidad de la libre $R$-módulo de $R^n$. Dada una matriz $A$ con coeficientes en $R$, definir un homomorphism $\Phi: R^n\to R^n$$\Phi(u) = Au$. Mi pregunta es cómo probar que $\det(A)R^n \subset \mathrm{Im}(\Phi)$? (Tenemos que $\det(A)R^n = \{\det(A)u: \ u\in R^n\}$ es un submódulo.)

Empecé a hacer lo obvio, es decir, tratando de mostrar que para cualquier $u\in R^n$, hay algunos $\tilde{u}\in R^n$ tal que $\det(A)u = A\tilde{u}$. Luego me fijo canónica de la base y el tratado de demostrar que esta ecuación (que es un sistema lineal) siempre tiene una solución, pero este enfoque parece más de álgebra lineal y menos álgebra abstracta, también es un poco desordenado.

Hay una buena manera de demostrar esto? Gracias.

Answer 1

Deje $B$ ser el adjunto de la matriz de $A$. A continuación, $ABu=\det(A)u$ todos los $u\in R^n$. Por lo tanto $Bu$ es un elemento de $R^n$ tal que $A(Bu)=\det(A)u$.