Si $p(x)$ mapas de $\Bbb Z$$\Bbb Z$$\deg(p)=n$, mostrar $n!\cdot p(x)$ tiene coeficientes enteros

Question

Dada una sola variable real polinomio $p(x)$ grado $n$ que los mapas de enteros a enteros, muestran que $n!\cdot p(x)$ tiene coeficientes enteros.

Yo prefiero una escuela primaria de la solución si es posible. Parece que algunos de los grandes de maquinaria para cuidar de esto debe existir así, pero no sé los nombres.

Por ejemplo, si $n=4$, algunos polinomio como $p(x)=\frac{(x-3)(x-8)(x-50)(x-13)}{24}$ trabaja desde $3,8,50,13$ son congruentes a $3,0,2,1$ mod $4$. Cualquier entero combinación lineal de los polinomios de esta forma funciona. Pero no puedo decir que estas son las únicas posibilidades.

Lo que he escrito anteriormente en el párrafo anterior no es correcta. Me refería a los polinomios como $p(x)=\frac{(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)}{24}$ obras, ya que el producto de cualquier $k$ enteros consecutivos es divisible por $k!$.

Answer 1

Dos palabras: diferencias Finitas.

Si $q$ es un polinomio, definir otro polinomio $\Delta q$ través de: $(\Delta q)(x) = q(x+1)-q(x)$. Claramente, $\Delta^k p(0)$ es un número entero para todos los $k$.

Entonces sabemos que el $$p(x)=\sum_{k=0}^n \frac{\Delta^k p(0)}{k!}(x)_k$$

Donde:

$$(x)_k = x(x-1)\cdots(x-k+1)$$

Answer 2

Puedo demostrar la $n=2$ de los casos elementales de matemáticas.

Estamos diciendo que los $p$ mapas enteros a enteros. Eso significa que $f=2!\cdot p$ mapas enteros múltiplos de $2$. Vamos a escribir $f(n)=\frac{r_1}{s_1}n^2 + \frac{r_2}{s_2}n + \frac{r_3}{s_3}$, y podemos asumir que cada fracción se ha escrito en términos mínimos. Queremos mostrar que $s_1, s_2, s_3$ todos iguales $1$.

Desde $f(0)$ es un número entero, de inmediato nos tiene que $s_3=1$.

Desde $f(1)$ es un número entero, tenemos que $\frac{r_1}{s_1} + \frac{r_2}{s_2}$ es un número entero, por lo $s_1=s_2$. Vamos a llamarlo $s$.

Desde $f(1)$ $f(2)$ son ambos números enteros, tenemos que $r_1 + r_2$ $4r_1 + 2r_2$ ambos son múltiplos de $2s$. Restar dos veces la primera expresión de la segunda, obtenemos que $2s$ también se divide $2r_1$, lo que implica que $s|r_1$. Sin embargo, $r_1$ $s$ son relativamente primos, por lo $s=1$, p.e.d..

Yo no ver de inmediato cómo este tipo de argumento podría correctamente se extienden a mayor grado de los polinomios, pero es posible.