Homología de nudo complemento

Question

Me dijeron en una topología de clase que si $Y$ es un cerrado $3$-colector y $K$ es un null-homóloga nudo en $Y$,$H_1(Y- \nu(K)) \cong H_1(Y) \oplus \mathbb{Z}$.

Estoy tratando de demostrar esta afirmación, pero no han tenido éxito hasta el momento. Estoy tratando de trabajar con el de Mayer-Vietoris de la secuencia aplicada a $Y-\nu(K)$ y un barrio de $K$, que va a ser isomorfo a $S^1 \times D^2$. La secuencia da

$$\ldots \rightarrow H_2(Y) \rightarrow H_1(T^2) \rightarrow H_1(S^1 \times D^2) \oplus H_1(Y-\nu(K)) \rightarrow H_1(Y) \rightarrow \ldots$$

y el nulo homóloga condición nos dice que $H_1(S^1 \times D^2) \rightarrow H_1(Y)$ es el cero mapa. Si se pudiera demostrar que la conexión homomorphism se $0$, y hubo una división de la resultante de corta secuencia exacta, entonces las cosas empiezan a verse bien, pero no estoy haciendo ningún avance.

Answer 1

Voy a developp mi comentario aquí: Suponga que $Y$ es un cerrado $3$-colector con esfera racional de homología y deje $K$ ser un null homóloga nudo en $Y$.

Deje $\nu(K)$ ser un barrio de $K$ homeomórficos a un sólido torus $T=\mathbb D^2\times S^1$. Voy a denotar por $X_K$ el nudo de complemento : $X_K=Y\backslash \stackrel{\ \circ}{\nu(K)}$.

Hay una larga secuencia exacta correspondiente a la par $(Y,X_K)$ $\mathbb Z$ coeficientes: $$\cdots \rightarrow H_2(Y) \rightarrow H_2(Y,X_K)\rightarrow H_1(X_K)\rightarrow H_1(Y)\rightarrow H_1(Y,X_K) \rightarrow\cdots$$ y vamos a mostrar que el $H_2(Y)=0$ mientras $H_1(Y,X_K)\cong \mathbb Z$.

• Por el Teorema de la Escisión, hay un isomorfismo $$H_*(Y,X_K) \cong H_*(\nu(K),\partial \nu(K)).$$ Desde $\nu(K)$ es un sólido toro, podemos utilizar el Lefschetz la dualidad que nos dice : $$H_k(T,\partial T)\cong H^{3-k}(T)\cong\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text{ if } k=0,1\\ \mathbb Z & \text{ if } k=2,3\end{array}\right. .$$

• Suponiendo que $H_1(Y,\mathbb Q)=0$ implica que ahora que $H_1(Y)$ es de torsión y por lo tanto $$H_2(Y)\cong H^1(Y)\cong Hom(H_1(Y),\mathbb Z)=0.$$

Volviendo a la secuencia exacta obtenemos : $$\cdots 0 \rightarrow \mathbb Z \rightarrow H_1(X_K) \rightarrow H_1(Y) \rightarrow 0 \rightarrow\cdots$$

Morover, $K$ siendo nulo homóloga en $Y$ implica que el nudo $K$ límites de un disco de $D$$Y$. Vamos a $s$ ser el mapa $$s:H_1(X_K)\rightarrow \mathbb Z$$ given by the intersection of curves in $X_K$ with the disk $D$.

Es una de morfismos y mirando el meridiano y la longitud de $X_K$ $\nu(K)$ usted puede ver que esto es una sección de la secuencia exacta, lo que proporciona el isomorfismo $$H_1(X_k)\cong H_1(Y)\oplus \mathbb Z.$$

De todos modos con las observaciones anteriores, también debe ser capaz de entender la conexión homomorphism y la sección deseada que estaba buscando en el caso de la utilización de Mayer-Vietoris secuencia exacta.

Answer 2

Nota, como $K$ es nulo homóloga existe alguna $3$-disco de $D\subset Y$ que delimita el tubular neighourhood $\nu(K)$ del nudo de $K$ (creo que este es el caso de todos modos - puedo estar equivocado).Esto es incorrecto! Existe null homóloga curvas en $Y$ que no está delimitada por un disco. El resto de esta respuesta sólo se aplica si un disco de tal existe, lamentablemente.

Ahora sólo es necesario aplicar Mayer-Vietoris en los dos subconjuntos $\nu(Y\setminus D)$ $D\setminus K$ cuya intersección es homeomórficos a la esfera $S^2$.

Es bien sabido que el primer grupo de homología de un nudo complementar $\mathbb{R}\setminus K$ es isomorfo a los enteros $\mathbb{Z}$ (que también puede ser calculada usando una de Mayer-Vietoris secuencia), y por lo que el cálculo se cae bastante bien.