Esto proviene de la parametrización racional del círculo unitario: es decir, el círculo $x^2 + y^2 = 1$ puede ser parametrizado (puesto en biyección con) la línea $t$ a través de la fórmula $x = (1-t^2) / (1 + t^2),$ $y = 2t / (1 + t^2).
Esta sustitución se remonta en alguna forma a Euclides, al menos, quien la usó para generar tripletes pitagóricos. (Si tomamos $t$ como un número racional $m/n$ y despejamos los denominadores, encontramos que $(m^2 - n^2)^2 + (2 m n)^2 = (m^2 + n^2)^2$, y todos los tríos pitagóricos surgen de esta manera.)
La intuición de esta fórmula es la siguiente: la curva está cortada por una ecuación de grado dos (es decir, cuadrática) en $x$ y $y$, por lo que una línea la encontrará en dos puntos. Así que, si fijamos uno de los puntos y dejamos variar el otro punto, podemos describir todos los puntos en el círculo como si se obtuvieran intersectando el círculo con una familia variable de líneas que pasan por un punto fijo.
Más precisamente y concretamente, tomamos el punto base como $(-1,0)$. Entonces, si consideramos la línea de pendiente $t$ a través de este punto, se encuentra con el círculo en el punto $(0,1)$ (obviamente) y en otro punto, es decir $\bigl((1-t^2) / (1 + t^2), 2t / (1 + t^2) \bigr)$. Esto da como resultado la fórmula.
El punto de vista trigonométrico, que históricamente llegó más tarde, simplemente viene de escribir $x = \cos \theta,$ $y = \sin \theta$. Si dibujamos el triángulo cuyos vértices son $(-1,0),$ $(1,0),$ y $(x,y)$, entonces es un triángulo rectángulo con ángulo $\theta/2$ en el vértice $(-1,0)$, por lo que su pendiente $t$ es igual a $\tan \theta/2$.
Nota que este truco de fijar un punto y luego parametrizar los otros puntos dibujando una línea que une el punto fijo con otro punto en la curva solo funciona cuando la curva tiene grado $2$. Si el grado es mayor, entonces una línea a través del punto fijo encontrará la curva en más de un otro punto. Por lo tanto, no hay una forma obvia de parametrizar curvas de grado superior con una sola variable, y en general no se puede hacer (excepto en algunos casos singulares degenerados, como parametrizar $y^2 = x^3$ a través de $(t^2,t^3)$).
Esto significa que no hay una sustitución racional disponible para convertir una integral como (solo para dar un ejemplo famoso) $$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1 - k^2 x^2)}}$$ (que está relacionada con la curva de grado $4$ $y^2 = (1 - x^2)(1 - k^2 x^2)$) en una integral de funciones racionales.
Esta integral es conocida como una integral elíptica, y estudiarlas e intentar comprender las curvas algebraicas que les subyacen, llevó al desarrollo de gran parte de la geometría algebraica y topología algebraica modernas (los nombres clave, que transformaron el estudio de una rama de análisis a geometría/topología, son Abel, Jacobi y Riemann).
Tengo algunas respuestas diferentes aquí relacionadas con este tema.
