¿Alguien puede decirme cuál es el máximo número de consecutivo compuesto de números posible? Me refiero a que puedo llegar a decir 1000 consecutivos de números naturales. Es allí cualquier teorema general que cuando tengo un n-número de dígitos siempre habrá p consecutivos compuesto de números?
Respuestas
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Deje $p_1,p_2, p_3,\dots,p_n$ ser el primero $n$ de los números primos, y deje $P_n$ ser su producto. A continuación, el $p_{n+1}-2$ enteros consecutivos, $P_n+2,P_n+3, \cdots, P_n+(p_{n+1}-1)$ son todos los compuestos.
Para dejar $P_n+x$ ser uno de estos números. Desde $2\le x\lt p_{n+1}$, $x$ es divisible por algunos de los mejores $p\le p_n$ ($x$ sí podría ser prime). Pero $P_n$ es también divisible por $p$, lo $P_n+x$ es divisible por $p$. Claramente $P_n+x\gt p$, lo $P_n+x$ es compuesto.
Podemos, en general, conseguir un muy ligeramente más barato cadena de partida en $P_n-2$ y yendo hacia atrás. Estos procedimientos nos arbitrariamente largas cadenas de consecutivos compuestos, ya que existen infinitos números primos.
Pero se puede hacer mucho mejor que $P_n$ en general. El tema del Primer Lagunas ha sido ampliamente estudiado. Encontrará información detallada en este artículo de la Wikipedia.
J.-E. Pin
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La Respuesta a su primera pregunta es Sí, es posible tener N consecutivos compuesto de números. La serie -
$(N+2)!+2 , (N+2)! + 3,(N+2)!+4,...(N+2)!+(N+2)$
le dará N consecutivos compuesto de números.
La prueba - es fácil probar porque, N! es una multiplicación de todos los números de 1 a N, así que usted puede ver
$(N+2)!+2$ le dará 2 como factor común
$(N+2)!+3$ le dará 3 como factor común
.
.
.
$(N+2)!+(N+2)$ le dará (N+2) como factor común
mostrando N consecutivos compuesto de números.
DanV
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281
No hay un máximo. Aquí hay una posible ciruclar razonamiento, sino que debe ayudar a entender por qué no puede ser una longitud máxima de consecutivos compuestos:
Es un conocido teorema que hay alrededor de $\ln k$ muchos números primos por debajo de $k$. Aproximadamente me refiero a que $$\frac{|\{1,\ldots,k\}|}{|\{p<k: p\text{ prime}\}|}\longrightarrow\frac{k}{\ln k}$$
Si hubo una longitud máxima de compuestos de secuencia, decir $n$, entonces al menos uno de cada $n$ números tendría que ser el primer. Esto significaría que para todos los $k$ (o más bien para suficientemente grande $k$) tenemos: $$\frac{|\{1,\ldots,k\}|}{|\{p<k: p\text{ prime}\}|}\geq\frac{1}{n}$$
Recordemos que $n$ es una constante en esta discusión, por lo que esta relación es no acercarse a $\frac{k}{\ln k}$ en el límite. Esto es una contradicción con el teorema de los números Primos, por lo que no puede ser de una longitud máxima de consecutivos compuestos.
