regla si..., entonces

Question

Cuando mi profesor comenzó a enseñar a los vectores propios y valores propios, el otro día, la primera cosa que me llamó la atención fue el hecho de que $A\vec{v}=\lambda\vec{v}$ (suponiendo que la ecuación se satisface en las variables) implica que $A=\lambda$... Pero dado que es un $n\times n$ matriz, y $\lambda\in\mathbb{R}$, ¿cómo puede una matriz igual a un número real? ¿Cuál es la consecuencia de esto?

Answer 1

Como los comentarios que se han señalado, no se puede inferir que el $A=\lambda$ porque no sólo son los diferentes tipos de variables (matriz vs escalares), pero los diferentes tipos de multiplicaciones fueron utilizados.

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Como una nota del lado, la "cancelación" de la regla:

Si $x \cdot z = y \cdot z$,$x=y$.

es cierto si $z$ tiene un inverso multiplicativo $z^{-1}$ por lo que: $$ \begin{array}{rrl} &x \cdot z &=& y \cdot z \\ \implies& x \cdot z \cdot z^{-1} &=& y \cdot z \cdot z^{-1} \\ \implies& x&=&y \end{array} $$

Tenga en cuenta que no podemos aplicar esta regla sobre la cancelación desde $\vec{v}$ no tiene un inverso multiplicativo (mediante la multiplicación de la matriz o de la multiplicación escalar).

Answer 2

Esta es una lamentable equivocación derivados del uso de la matriz de multiplicación para el modelo de la acción de un lineal de la función. Lineal mapas son funciones, y como tal, debe ser claro que para hablar de $A(v) = \lambda v \implies A = \lambda$ no es más sensical de decir $\sin(\theta) = 2\theta \implies \sin = 2$.

Answer 3

Así, la primera observación es que el $A$ $\lambda$ son de diferente tipo: $A$ es una matriz, mientras que $\lambda$ es un escalar. Sin embargo, es fácil de "arreglar" los que se observa que para cualquier vector $\vec v$, $I\vec v=\vec v$ donde $I$ $n\times n$ unidad matriz. Esto nos da un natural de asignación de $\lambda\mapsto\lambda I$. Así podemos reformular la pregunta:

Qué $A\vec v = \lambda I\vec v$ implican $A=\lambda I$?

Así, utilizando el espacio vectorial de las propiedades y la linealidad de la multiplicación, podemos reformular otro tiempo, llevando ambos términos en el mismo lado y factorizando $\vec v$:

Qué $(A - \lambda I)\vec v = 0$ implican $\vec v=0$?

Ya podemos añadir $\lambda I$ a cualquier matriz $X$ le gusta, y luego, por supuesto, va a encontrar que restar de nuevo recupera $X$, podemos simplificar esta pregunta más:

Qué $X\vec v=0$ implican $X=0$?

Ahora, recuerde que una forma de construir una matriz es tomar un vector $\vec w$ y calcular el "exterior producto" $\vec w\vec w^T$. Si $\vec w\ne0$,$\vec w\vec w^T\ne 0$. Supongamos ahora que existe un $\vec w$ que es ortogonal a $\vec v$, $\vec w^T\vec v=0$. Luego de la multiplicación por $w$ obtener $\vec w\vec w^Tv=0$. Pero eso significa que $X=\vec w\vec w^T$ es un valor distinto de cero de la matriz con $X\vec v=0$.

En otras palabras, si existen vectores ortogonales a $v$, luego de $X\vec v=0$ no $X=0$. Pero ortogonal de vectores existen en cualquier espacio vectorial de dimensión mayor que $1$.

Así que si recogemos todos los bits juntos, la respuesta es:

Si la dimensión del espacio vectorial es mayor que $1$, $A\vec v = \lambda\vec v$ hace no implican $A = \lambda I$.

Answer 4

Por supuesto que no - una matriz de tamaño mayor que 1 no es igual a una escalares. Sin embargo, - el autovalor-vector propio de la relación, dice que para el especial de vectores, llamados vectores propios, la matriz $A$ va a actuar como la multiplicación escalar , esto es, para los vectores propios, la ley de la multiplicación de ese vector por la matriz $A$ dará el mismo resultado que si multiplicamos el vector por el escalar $\lambda$.

Answer 5

Podemos simplificar las cosas cuando estamos pensando en escalar las operaciones y simplemente cambian las cosas de un lado para el otro como (por ejemplo):

$ 4x = 4(3w -1) $

el 4 en cada lado se cancelan y la expresión se convierte en:

$x = 3w -1 $

Pero en realidad estamos haciendo el real, las operaciones de:

$ 4x = 4(3w -1) $

$ 4^{-1} 4x = 4^{-1} 4(3w -1) \iff \frac{1}{4} 4x = \frac{1}{4} 4(3w -1) \iff x = 3w -1 $

Lo que quieres hacer en tu caso es:

$A\vec{v}=\lambda\vec{v} \iff A\vec{v}\vec{v}^{-1}=\lambda\vec{v}\vec{v}^{-1}$

Pero a la inversa de un vector no está definido porque tal definición de una función inversa tendría un uso limitado, ya que:

$\vec{v}\vec{v}^{-1} \ne \vec{v}^{-1}\vec{v}$

Por ejemplo (como ellos tienen diferentes dimensiones, etc..).