Universal coeficiente teorema con el anillo de coeficientes de

Question

El universal coeficiente teorema de cohomology lee:

$$0 \to Ext(H_{n-1}(C), R) \to H^n(C;R) \to Hom(H_n(C), R) \to 0,$$

donde $C$ es un complejo de cadena de libre abelian grupos y $R$ es un anillo.

Se entiende que la homología de grupos de $H_i(C)$ son tomadas con respecto a $\mathbb{Z}$ de los coeficientes.

Mi pregunta: ¿qué sucede si en lugar de considerar la homología de grupos con $R$ coeficientes? Después de probar algunos de los ejemplos, parece que se puede obtener el mismo cohomology grupos del teorema, aunque $Ext$ $Hom$ tanto puede cambiar. Sin embargo, no sé si esto es cierto en general.

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext}$La secuencia exacta mencionado en Wikipedia es sólo un corolario de un teorema más general; el corolario es sólo cierto para los PIDs. El espectro de la secuencia tiene la forma: $$E_2^{p,q} = \Ext{}^q_S(H_p(X), R) \Rightarrow H^*(X; R)$$

Yo no voy a profundizar en los detalles si usted no sabe nada acerca espectral de las secuencias, pero al $S$ es un PID (así, por ejemplo,$S = \mathbb{Z}$) el mayor $\Ext$ functors desaparecer (porque cada módulo tiene una resolución proyectiva de longitud en más de uno). Así que la secuencia espectral degenera, y te dejan con la secuencia exacta que usted menciona. Pero en todos los casos, usted no puede deshacerse de la mayor $\Ext$ términos, las diferencias que aparecen en la SS, y la extensión de los problemas en la $E_\infty$ página.