Omitir tipos... recursivamente

Question

En este momento estoy trabajando en el siguiente problema:

Sea $\mathcal{L} = \{R\}$ donde $R$ es un símbolo de relación binaria. Sea $T$ sea una $\cal{L}$ -y que $p(x)$ sea un 1-tipo decidible y no principal de $T$ . Demuestre que $T$ tiene un modelo $\mathcal{A} = \langle A, R^\mathcal{A}\rangle$ de forma que $A$ y $R^\mathcal{A}$ son recursivas.

Cuando se trata de mezclar la teoría de modelos y la teoría de la recursividad, no tengo ni idea. ¿La idea detrás de este tipo de problemas es realizar construcciones tipo Henkin pero garantizando de alguna manera que el resultado es decidible? Cualquier pista o sugerencia sobre este problema, o intuiciones sobre la teoría de modelos recursivos en general, ¡sería muy útil!

Answer 1

Supongo que de seguir la costumbre, convención por la cual una $1$-tipo es completa. Inventar una nueva constante símbolo $c$, y el trabajo con la teoría completa $p(c)$ en el agrandamiento de la lengua. Es coherente, completa, y decidable. Ahora ve a través de la Henkin construcción: Lindan con Henkin constantes (o funciones de Skolem, dependiendo de la presentación de la Henkin de la construcción), con sus correspondientes axiomas y, a continuación, completar la resultante de la teoría. La observación clave es que el proceso de terminación puede ser llevado a cabo de forma recursiva, ya que, en cada etapa, usted está buscando en algunas sentencias $\theta$ y adyacente a su teoría, si y sólo si es consistente con todo lo que has hecho anteriormente. Esta coherencia es una cuestión de (onu)provability de algunos frase en $p(c)$, lo cual es, por supuesto decidable. Así se obtiene una decidable, completa, Henkin teoría. El modelo determinado por lo que la teoría va a ser un modelo recursivo.