Teoría de la homotopía para aislantes topológicos

Question

Estoy tratando de entender los aislantes topológicos en términos de invariantes de homotopía. Entiendo que en 2 dimensiones espaciales, tenemos aisladores de Chern ya que $$\pi_2(S^2) = \mathbb{Z}$$ Una sutileza que no entiendo es por qué está bien sustituir la zona de brillouin, que es un Torus ( $T^2$ ) por una 2-esfera ( $S^2$ ) al calcular esta invariante.

En segundo lugar, en 3d, tenemos que $$\pi_3(S^2) = \mathbb{Z}$$ Entonces, ¿por qué no hay un aislante de Chern en 3d? Supongo que esto tiene que ver con la "clasificación de espacios", así que agradecería una respuesta que implique invariantes de homotopía que aclare por qué sólo existe el aislador trivial en 3d sin inversión temporal y también por qué la clasificación cambia a $\mathbb{Z}_2$ en presencia de la simetría tiempo-reversa.

Answer 1

Como ha señalado FraSchelle, tu primera pregunta (por qué podemos sustituir la zona de Brillouin por una esfera al calcular los números sinuosos) se ha planteado (y respondido) unas cuantas veces. Lo mismo ocurre con tu pregunta complementaria de por qué obtenemos un $\mathbb Z_2$ invariante en el caso de las simetrías adicionales. Así que me centraré en tu pregunta del medio, que me parece la más interesante:

Si $\pi_3(S^2) = \mathbb Z$ ¿Por qué no tenemos una fase topológica de la materia correspondiente?

Pues bien: lo tenemos :) Se llama un aislante de Hopf (debido a que los mapas no triviales $S^3 \to S^2$ son los llamados mapas de Hopf).

Pero no es tan interesante como un aislante de Chern, porque un aislante de Chern no puede conectarse a un estado producto sin una transición de fase (es decir, tiene un orden topológico intrínseco, al menos para algunas de las definiciones). El aislante de Hopf, sin embargo, puede trivializarse. Se podría preguntar cómo es posible, dado que tiene un índice discreto no nulo dado por el número de bobinado de la zona de Brillouin sobre $S^2$ . En efecto, ¿no es el objetivo de estos invariantes discretos el de mostrar que no podemos trivializar el estado sin una transición de fase? Bueno, una objeción podría ser que dicho número de enrollamiento sólo está bien definido si se tiene una zona de Brillouin, lo que significa que hay que suponer invariancia de traslación y ausencia de interacciones. Lo mismo puede decirse del número de enrollamiento para un aislante de Cherner, pero resulta que en que el invariante topológico puede extenderse incluso al caso en que se rompa la invariancia de traslación y/o se añadan interacciones. _{(Un argumento habitual para hacer esto plausible es que el número de enrollamiento en el caso del aislante de Chern es equivalente a la conductancia discreta de Hall, estando la conductancia de Hall bien definida incluso sin invariancia de traslación o con interacciones. Por supuesto, para que esta afirmación esté justificada, hay que demostrar que la conductancia de Hall, si es distinta de cero, está cuantizada. No conozco un buen argumento para esto, pero un argumento que podría imaginar va así: tener una conductancia Hall significa que la respuesta electromagnética efectiva en su material viene dada por $S = k \int A d A$ (de hecho: utilice las ecuaciones de Euler-Lagrange para demostrar que esto da una conductancia de Hall $\propto k$ ). Si uno cree entonces que esta acción debería funcionar también en el nivel cuántico, entonces es un hecho bien conocido que esta acción (llamada acción de Chern-Simons) sólo está bien definida si $k$ es discreto [tiene que ver con el hecho de que bajo una transformación gauge $\int A d A$ cambia por un múltiplo de $2\pi$ , por lo que si queremos $e^{iS}$ para ser invariante gauge, necesitamos $k \propto$ un número entero])}

Para el aislante de Hopf no conozco tal extensión/argumento. Pero, ¿significa esto que, incluso si suponemos invariancia de traslación y ausencia de interacciones, nuestra fase topológica no es trivial? Bueno: sí y no. En sentido estricto, sí, porque entonces tenemos nuestro invariante topológico no nulo. Pero de forma física, no. Esto se debe a que $\pi_3(S^2)$ supone que nuestro sistema sólo tiene dos bandas. De hecho, el `` $S^2$ '' surge del hecho de que para cada momento $\boldsymbol k$ tenemos $H_{\boldsymbol k} = \boldsymbol n_{\boldsymbol k} \cdot \boldsymbol \sigma$ (donde podemos suponer $|n_{\boldsymbol k}| = 1$ y así obtenemos $S^2$ ). Así que esto no nos dice lo que ocurre si permitimos bandas adicionales. De hecho, cuando la gente clasifica estas fases, comprueba lo que ocurre cuando se añaden bandas, porque no queremos llamar a una fase topológica si al añadir una banda trivial a nuestro sistema, ahora podemos conectar todo nuestro estado a un estado producto trivial sin una transición de fase. Pero resulta que en el caso del aislante de Hopf esto es exactamente así. (Véase, por ejemplo https://arxiv.org/abs/1307.7206 para más información).