Si $a$ es racional y $b$ es irracional, es $ab$ ¿es necesariamente irracional?

Question

Hay algunas preguntas similares, pero no exactamente esta.

Primero:

Como, el Cero es un número racional. Entonces, usando el contraejemplo $a=0$ y $b=x$ ( $x$ siendo un número irracional) obtenemos $ab = 0$ . Por lo tanto, no es cierto que $ab$ necesariamente tiene que ser irracional .

Segundo:

Sin embargo, he aprendido una técnica que he utilizado para probar una combinación similar pero ligeramente diferente ( $a$ es racional y $b$ es irracional, es $a+b$ irracional?) de preguntas.

Con esta técnica (Prueba por contradicción):

Dado $a$ es racional y $b$ es irracional. Déjalo, $ab$ ser racional.

Supongamos, $a= \frac{m}{n}$ y $ab= z =\frac{p}{q}$ , donde $m,n,p,q$ son intgers y $n,q \neq 0$

$b=x$ donde $x$ es un número irracional.

$$a \cdot b=z$$ $$\frac{m}{n} \cdot x=\frac{p}{q}$$ $$x=\frac{p}{q} \cdot \frac{n}{m}$$ Ahora, como $p,q,m,n$ son todos enteros, por lo tanto $x$ es un número entero, por lo tanto racional lo que contradice nuestra suposición de partida de que $x$ es un irracional número. Por lo tanto, $ab$ es irracional.

Ahora, creo que la primera conclusión que $ab$ no es necesariamente irracional es correcto. La segunda prueba es definitivamente incorrecta (creo), pero soy nuevo en esto de las pruebas y no sé en qué se equivoca. ¿Qué me he perdido y no he tenido en cuenta en el segundo planteamiento?

Answer 1

Publicar la respuesta en un comentario de Kai Rüsch como respuesta:

Las dos últimas ecuaciones de la segunda prueba son:

$$\frac{m}{n} \cdot x = \frac{p}{q}$$

$$x = \frac{p}{q} \cdot \frac{n}{m}$$

Esta última ecuación no es válida si $a = 0$ desde entonces $m = 0$ .

Answer 2

Si $k = m/n$ es racional y $j = p/q\ne 0$ es racional, entonces $k/j = mq/np$ es racional (y si $j = 0$ entonces $k/j$ no es irracional; simplemente es indefinido y sin sentido y no es un número ni nada).

Así que si $ab$ es racional. Y $a$ es racional. Y $a \ne 0$ entonces que $ab/a = b$ es racional.

Así que el sólo manera. $a$ puede ser racional y $b$ ser irracional pero de alguna manera $ab $ es racional si $ab/a$ no está definido. Eso sólo ocurre si $a$ es cero. Este es el único contraejemplo.

En cuanto a $a +b$ .... Nota: si $k = m/n$ y $j = p/q$ son racionales, entonces $k \pm j = \frac {mq \pm pn}{nq}$ es racional.

Así que si $a$ es racional y $a + b$ es racional, entonces $(b+a) - a = b$ también debe ser racional.

Así que si $a$ es racional y $b$ es irracional hay no manera posible para $a + b$ para ser racional. No hay absolutamente ningún contraejemplo.