Es una función impar, y analítica para valores del argumento reales.

Question

He sabido que todos los verdaderos funciones analíticas son infinitamente diferenciable.

Por otro lado, sé que existe una función que es infinitamente diferenciable, pero no son reales analítica. Por ejemplo, $$f(x) = \begin{cases} \exp(-1/x), & \mbox{if }x>0 \\ 0, & \mbox{if }x\le0 \end{casos}$$ es una función de este tipo.

Sin embargo, la función de arriba es extraño a la función. No puedo ver la distinción entre infinitamente derivable la función real y analítica de la función de claridad y de manera intuitiva.

¿Alguien puede explicar más claramente acerca de la distinción entre las dos clases?

Answer 1

$f(x)$ es real analítica en todas partes, pero en $x=0$. En $x=0$, todos los derivados de $f(x)$$0$, pero la función no es idéntica $0$ en cualquier barrio de $x=0$; $f(x)>0$ para cualquier $x>0$.