¿Qué estructura algebraica es la colección de todas las formas de cantidades físicas?

Question

¿Qué estructura algebraica--por que me estoy refiriendo a los teóricos de álgebra abstracta como anillo, campo, módulo, etc.--es la colección de todas las formas de cantidades físicas?

¿Una pregunta relacionada o variante es, qué estructura algebraica hace la colección de todos (o un subconjunto razonable de) forma de unidades?

Answer 1

Los físicos observables tanto en clásica y la mecánica cuántica se cree que tienen, hoy en términos matemáticos, un involutiva de álgebra de la estructura.

Este punto de vista ha sido desarrollado en primer lugar para la mecánica cuántica. Las características observables de la mecánica cuántica son una adecuada $C^*$-álgebra. Por Gel de'fand-Naimark isomorfismo cualquier $C^*$ álgebra es isométricamente isomorfo a un álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert, por lo tanto la interpretación de QM observables como los operadores en un espacio de Hilbert es natural. Los operadores no acotados, desgraciadamente, no son directamente contenida en el álgebra; son introducidos por dos diferentes nociones:

• pueden ser afiliados a la $C^*$ álgebra, es decir, una desenfrenada normal operador está afiliada a un álgebra de si su espectral proyecciones son todos los que figuran en el álgebra (y posiblemente también de sus asociados grupo unitario si uno mismo-adjoint);

• la integridad de la álgebra w.r.t. el operador de la norma es relajado, y hemos de contenido con un $*$-álgebra (generalmente con localmente convexo topología); muchos de los resultados, tales como el Gel'fand-Naimark-Segal construcción puede ser generalizado a $*$-álgebras, sin embargo muchas de las sutilezas que implican dominios, irreductible representaciones, conmutación y así tiene que ser tomado en cuenta.

Dado un $C^*$ álgebra $V^*$, dos espacios relacionados también son importantes: el espacio dual $V^*$, y el bicommutant $V^{''}$. El espacio dual $V^*$ contiene los estados cuánticos $E_V$: son los positivos funcionales con la norma uno, y forman un subconjunto convexo. El bicommutant $V^{''}$ es un álgebra de von Neumann, y tiene un único predual $V_*$, útiles para definir los estados normales de $E_V\cap V_*$ (densidad de matrices).

El quantum de la evolución generalmente es administrado por un subconjunto del álgebra lineal endomorphisms de $V_*$ que son isométrica y preservar la positividad (y, por tanto, por la dualidad de obtener un endomorfismo de características observables, y de nuevo por la dualidad de un endomorfismo de los estados generales).

El razonamiento anterior se puede extender a sistemas clásicos, la restricción de los desplazamientos involutiva álgebras; la clásica de la evolución sin embargo, generalmente no lineal.

(Filosófica) de la Adenda: La pregunta original es acerca de la colección de todas las magnitudes físicas; a pesar de que este concepto es bastante vago, yo diría que cualquier persona razonable "de la colección de todas las magnitudes físicas" no es un conjunto, sino una clase adecuada, por lo tanto no puede tener un "común" estructura algebraica (que se definen en conjuntos); en la mayoría de los puede ser una categoría o un conglomerado, pero dado que nuestro conocimiento del mundo físico es hasta ahora incompleta, usted no puede saber lo que la colección de todas las magnitudes físicas que realmente debe ser; de seguro que usted puede imaginar que es lo suficientemente grande para no ser un conjunto.