Encontrar todas las funciones $f\colon \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^* $ satisfaciendo $f(xyz)=f(xy+yz+xz)\big(f(x)+f(y)+f(z)\big)$ cuando $xy+yz+xz\ne 0$

Question

Encontrar todas las funciones $f\colon \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^* $ de los reales no nulos a los reales no nulos, tal que $$f(xyz)=f(xy+yz+xz)\big(f(x)+f(y)+f(z)\big)$$ para todos los reales no nulos $x, y, z$ tal que $xy+yz+xz\ne 0$ .

Creo que sólo hay dos soluciones: $f(x)=\frac{1}{3}$ y $f(x)=\frac{1}{x}$ .

Agradecería cualquier sugerencia.

Answer 1

Enchufar $(x,y,z)=(1,1,-1)$ y $(x,y,z)=(1,-1,-1)$ obtenemos $$\begin{eqnarray*} f(-1)&=&f(-1)(2f(1)+f(-1))\\ f(1)&=&f(-1)(2f(-1)+f(1)) \end{eqnarray*}$$ Resolver, $f(1)=1$ o $\frac13$ .

Caso 1: $f(1)=1$

Para cualquier $a\neq0$ , conectando $(x,y,z)=(a,-a,1)$ da $$ f(-a^2)=f(-a^2)(f(a)+f(-a)+1). $$ Por lo tanto, $f(-a)=-f(a)$ . Para cualquier $a,b>0$ , poniendo $(x,y,z)=(\sqrt{a},-\sqrt{a},b)$ da $$ f(-ab)=f(-a)f(b) $$ Por lo tanto, $f(ab)=f(a)f(b)$ .

Dejemos que $g(x)=\frac1{f(x)}$ Así que $g(ab)=g(a)g(b)$ para $a,b>0$ . En particular, si $a>0$ entonces $g(a)=g(\sqrt{a})^2>0$ . La ecuación original se convierte en $$ g(xy+yz+zx)=g(xyz)\left(\frac1{g(x)}+\frac1{g(y)}+\frac1{g(z)}\right) =g(xy)+g(yz)+g(zx). $$ Para cualquier $a,b,c>0$ , ajuste $(x,y,z)=(\sqrt{ac/b},\sqrt{ab/c},\sqrt{bc/a})$ da $$ g(a+b+c)=g(a)+g(b)+g(c). $$ En particular, si $a>b>0$ entonces $g(a)=g(b)+2g(\frac{a-b}2)>g(b)$ . Tenga en cuenta que $g(3)=3g(1)=3$ Así que $g(3^k)=3^k$ para todos los enteros $k$ . Así, para cualquier $a,b>0$ , $$ g(a+b)\leq g\left(a+b+3^k\right)=g(a)+g(b)+3^k. $$ Envío de $k\rightarrow-\infty$ , $g(a+b)\leq g(a)+g(b)$ . Por otro lado, elija $k$ tal que $3^k<b$ . Entonces $$ g(a)+g(b)\leq g(a)+g(b-3^k)+g(3^k)=g(a+b). $$ Por lo tanto, $g(a+b)=g(a)+g(b)$ . Desde $g(1)=1$ , $g(x)=x$ en los racionales positivos. También $g$ es creciente, por lo que $g(x)=x$ en los reales positivos. Como $f$ es impar, $f(x)=\frac1x$ para todos $x\in\mathbb R^*$ .

Caso 2: $f(1)=\frac13$

Para cualquier $a\neq0$ , conectando $(x,y,z)=(a,-a,1)$ da $$ f(-a^2)=f(-a^2)(f(a)+f(-a)+\frac13). $$ Por lo tanto, $f(a)+f(-a)=\frac23$ . Poniendo $(x,y,z)=(a,-a,b^2)$ da $$ f(-a^2b^2)=f(-a^2)(\frac23+f(b^2))=f(-a^2)(\frac43-f(-b^2)). $$ Así, $$ f(-a^2b^2)+f(-a^2)f(-b^2)=\frac43f(-a^2). $$ Intercambio de $a$ y $b$ , $f(-a^2)=f(-b^2)$ . En particular, poner $b=1$ , $f(-a^2)=\frac13$ . Por lo tanto, $f(a)=\frac13$ para $a<0$ y para $a>0$ tenemos $f(a)=\frac23-f(-a)=\frac13$ también.