Artin ' s Algebra ejercicio: caracterizar los anillos $R$ que contiene $\mathbb C$ y tiene dimensión $2$ $\mathbb C$ como un espacio del vector.

Question

Aquí es un problema de Artin de Álgebra de texto:

Caracterizar todos los anillos de $R$ que contiene $\mathbb C$ e tiene dimensión $2$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb C$.

Aquí está mi idea: Supongamos $\{1, \alpha\}$ es una base de $R$ $\mathbb C$- vectorspace, entonces como $\alpha^2 \in R$, por lo que no existe $a,b \in \mathbb C$ tal que $\alpha^2=a\alpha + b$. Ahora el conjunto de la multiplicación se define, desde el $(s\alpha + t)(u\alpha+v) = su\alpha^2 + (sv+tu)\alpha + tv = (sua + sv + tu)\alpha + (sub + tv)$, para los elementos genéricos $s\alpha + t, u\alpha+v \in R$. Un anillo es claramente conmutativa. Es esta la solución correcta ? Por otra parte,

¿Qué se puede decir más acerca de anillo de $R$ ? ¿Cómo podemos encontrar todos los anillos que contiene $\mathbb C$ tiene dimensiones de la $n$ como un espacio vectorial Sobre $\mathbb C$ ? Alguna idea?

Answer 1

Siguiente Jyrki Lahtonen sugerencia, aquí está mi solución:

Vamos a trabajar con un campo arbitrario. Deje $k$ ser cualquier campo. Si $R$ $2$- dimensional $k$-álgebra, debe tener una base $\{ 1, x \}$ donde $x$ no es un escalar varios de $1$; en particular, debe ser conmutativa, ya que es generado por $x$. Ya es $2$-dimensional, $x^2 = ax + b$ algunos $a, b \in k$, y de ello se sigue que $R \cong k[x]/(x^2 - ax - b)$. El isomorfismo tipo de $R$ es ahora controlado por los posibles tipos de monic polinomios cuadráticos $k$. Hay tres casos:

1. $x^2 - ax - b$ tiene dos raíces en $k$. En este caso, $R \cong k \times k$ por el teorema del resto Chino.

2. $x^2 - ax - b$ es irreducible sobre $k$. En este caso, $R$ es una ecuación cuadrática de extensión de campo de $k$.

3. $x^2 - ax - b$ tiene dos raíces repetidas en $k$. En este caso,$R \cong k[x]/x^2$.

Si $k$ es algebraicamente cerrado, entonces el segundo caso nunca se produce y llegamos a la conclusión de que hay dos tipos de isomorfismo de $2$-dimensional $k$-álgebras.