Extensión cuadrática semi-simple $\mathbb{Q}$

Question

Un viejo qual problema

Deje $K$ ser un semi-cuadrática simple extensión de más de $\mathbb{Q}$ y considere la posibilidad de regular la representación de $\rho: K \to M_2(\mathbb{Q})$. Calcular el índice de $\rho(K^\times)$ en el normalizador de la $\rho(K^\times)$ $GL_2(\mathbb{Q})$ , y justifique su respuesta.

Estoy teniendo problemas para averiguar lo que significan. ¿Qué es un "semi-cuadrática simple extensión de $\mathbb{Q}$? Qué significan un campo de extensión? Esos serían separables y así ajustarse a la definición de un algebra semisimple (creo). Por lo que sería redundante.

edit: Supongo que sólo significa un semisimple $Q$-álgebra de dimensión 2. El álgebra es $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ o $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$. En el primer caso, yo reclamo el índice es de dos. En el último caso, no estoy tan seguro. ¿Qué sabemos sobre el índice de algo en su normalizador? O sobre el normalizador de matrices como $$\begin{pmatrix} a& db \\ b& a \end{pmatrix}?$$

Answer 1

Reclamo: Cualquiera de las dos dimensiones semisimple $\mathbb{Q}$ álgebra es $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ o un grado de dos de extensión de campo de $\mathbb{Q}$. La única otra cosa que en una descomposición de Wedderburn sería una de dos dimensiones de la división de álgebra $\mathbb{Q}$. El centro de un álgebra sería un $\mathbb{Q}$-espacio vectorial, por lo que necesariamente la totalidad de la cosa, o sólo $\mathbb{Q}$. El centro se $\mathbb{Q}$ no es posible, debido a una división central de álgebra sobre un campo siempre está de plaza de la dimensión. $\square$

Reclamo: Cuando el álgebra es $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$, el índice de $\rho(K^\times)$ en su normalizador es de dos. Para, a continuación, $\rho(K^\times)$ son los invertible diagonal de las matrices. El normalizador de la invertible diagonal de las matrices en $GL_n(F)$ (quizás debería decir en el carácter no 2?) son las generalizado de permutación de matrices, que tiene estructura $\texttt{diag} \rtimes S_n$. Por lo tanto, el índice de $\rho(K^\times)$ en su normalizador $|S_2|=2$.

Reclamación: En caso de que el álgebra es $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$, el normalizador es de dos.

Lema: El subgrupo $\rho(K^\times)$ es auto-centralización.

Lema: El subgrupo $\rho(K^\times)$ no es auto-normalización. Para pensar acerca de automorfismos de a $K/\mathbb{Q}$: el envío de $\sqrt{d} \mapsto -\sqrt{d}$. Yo debería ser capaz de conseguir que a partir de la conjugación, ya que puede cambiar la base a partir de la $1, \sqrt{d}$$1, -\sqrt{d}$. En particular, la conjugación por $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ es trivial.

Ahora el normalizador mod el centralizador es un subgrupo de $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$, lo $|N/C|$ es en la mayoría de los dos, y nos mostró que es más de uno. $\square$