He intentado encontrar los máximos de $f(x)=\frac{3}{4}-x-x^2$ tomando la derivada y así sucesivamente y utilizar el hecho de que $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx \leq M(b-a)$ donde $M$ es el máximo global, pero entonces el valor máximo depende de los valores de $a$ y $b$ .
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Oli
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89
Dado $$f(a,b) = \int_{a}^{b}\left(\frac{3}{4}-x-x^2\right)dx$$
Haz la integración para conseguir:
$$f(a,b) = \frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}-\frac{3 a}{4}-\frac{b^3}{3}-\frac{b^2}{2}+\frac{3 b}{4} $$
Diff $f(a,b)$ con respecto a $a$ y se ajusta a $0$
$$a^2+a-\frac{3}{4} =0$$
Resuelve. Obtenemos esto $2$ puntos críticos:
$$a = - \frac{3}{2} \ \ a=\frac{1}{2} $$
Diff $f(a,b)$ con wrt $b$ y se ajusta a $0$
$$-b^2-b+\frac{3}{4} = 0$$
Tenemos estos $2$ puntos críticos:
$$ b = - \frac{3}{2} \ \ b=\frac{1}{2} $$
sólo $\displaystyle a = -\frac{3}{2} \ \ b = \frac{1}{2} $ necesitan ser juzgados. $( a < b )$
$$f\left( - \frac{3}{2} , \frac{1}{2}\right) = \frac{4}{3} .$$
Peter Hession
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186
Veamos un enfoque de fuerza bruta.
$$f(a,b)=\int_a^b\left({3\over 4}-x-x^2\right)dx={3\over 4}(b-a)-{b^2-a^2\over 2}-{b^3-a^3\over 3}$$
Ahora bien, esto es máximo cuando
$$\begin{align} {{\partial{f(a,b)}\over\partial{a}}}&=0\\{{\partial{f(a,b)}\over\partial{b}}}&=0\end{align}$$
Lo que lleva a
$$\begin{align} -{3\over 4}+a+a^2=0\\{3\over 4}-b-b^2=0\end{align}$$
Esto significa que se alcanza el máximo para $a$ y $b$ raíces de la cuadrática
$$X^2+X-{3\over 4}=0$$
Esto significa que $a=-{3\over 2}$ y $b={1\over 2}$
The Somberi
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1
Evaluar el integrando y resolver el problema de optimización (como en las respuestas de marwalix y juantheron) es bastante innecesario. Basta con observar que el el integrando es una parábola que es positivo en $[-3/2, 1 /2]$ y negativo en todos los demás lugares. Por lo tanto, la integral es mayor cuando se toma sólo en el intervalo más grande donde el integrando es positivo, es decir, cuando $a=-3/2$ y $b=1 /2$ ,
