¿Existe una colección contable de funciones $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ que cumplan con esta propiedad?

Question

Sea $\eta>0$. ¿Existe una colección numerable $\mathcal{F}$ de funciones reales en $\mathbb{R}$ tal que las siguientes propiedades son equivalentes?

• $x - y > \eta$
• para todo $f\in\mathcal{F}$, $f(x)>f(y)$

Puedo hacer que funcione para una colección nenumerable de funciones, pero creo que es falso para el caso numerable.

He intentado demostrar que no existe una colección finita con la propiedad deseada, pero había un error en mi argumento. Hice una pregunta aquí para verificar si una cierta afirmación es verdadera, pero resulta que hay un contraejemplo, por lo que esto invalida mi demostración para el caso finito.

Answer 1

El agujero que Dejan señaló en el intento de Francis puede ser tapado definiendo en su lugar

$$g(x)=\begin{cases}x&x\le0\;,\\x-\eta&x\gt0\;.\end{cases}$$

Luego, $x-y\gt\eta$ todavía implica $f(x)\gt f(y)$, y para $0\lt x-y\le\eta$ siempre hay un racional entre $x$ e $y$ y el correspondiente $f_n$ tiene $f_n(x)\le f_n(y)$; para $x-y\le0$" la mayoría" de las $f_n$ funcionarán.

[Actualización:]

Quizás algo sorprendentemente, resulta que el número mínimo de funciones en $\mathcal F$ es tres. Basándonos en la respuesta de Robert, definimos

$$g(x)=x+2\left(\left\lfloor\frac{x+1}3\right\rfloor-\left\lfloor\frac{x+2}3\right\rfloor\right)(x-\lfloor x\rfloor) - 2\left(\left\lfloor\frac{x+1}3\right\rfloor-\left\lfloor\frac{x}3\right\rfloor\right)\;.$$

(Aquí tienes una gráfica.) Luego $\{f_0,f_1,f_2\}$ con $f_k=g(2x/\eta+k)$ es una colección de funciones de valores reales que satisface la condición, por razones análogas a las dadas por Robert.

Para ver que dos funciones no son suficientes, supongamos que $\mathcal F=\{f_1,f_2\}$ es una colección de dos funciones que satisfacen la condición. Llamamos a $f$ un testigo para un par (ordenado) $\def\pair#1#2{\langle #1,#2\rangle}\pair yx$ si $f(x)\le f(y)$. La condición requiere que haya un testigo en $\mathcal F$ para cada par $\pair yx$ con $x-y\le\eta$.

Si $f$ es un testigo para $\pair{x-\eta}{x}$, no puede ser también un testigo para $\pair{x}{x+\eta}$, ya que la condición requiere $f(x+\eta)\gt f(x-\eta)$ para todo $f\in\mathcal F$. Así que $f_1$ y $f_2$ deben alternar siendo testigos para $\pair{x+k\eta}{x+(k+1)\eta}$ para $k\in\mathbb Z$. Supongamos sin pérdida de generalidad que $f_1$ es un testigo para $\pair0\eta$ y $\pair{2\eta}{3\eta}$. Entonces $f_1(\eta)\le f_1(0)\lt f_1(3\eta/2)\lt f_1(3\eta)\le f_1(2\eta)$, por lo que $f_1$ no es un testigo para $\pair{\eta}{3\eta/2}$ o $\pair{3\eta/2}{2\eta}$. Por lo tanto, $f_2$ es un testigo para estos pares, entonces $f_2(\eta)\ge f_2(3\eta/2)\ge f_2(2\eta)$. Pero entonces $f_2(\eta/2)\lt f_2(2\eta)\le f_2(3\eta/2)\le f_2(\eta)\lt f_2(5\eta/2)$, por lo que $f_2$ no es un testigo ni para $\pair{\eta/2}{3\eta/2}$ ni para $\pair{3\eta/2}{5\eta/2}$, contradiciendo la conclusión anterior de que $f_1$ y $f_2$ alternan siendo testigos de $\pair{\eta/2+k\eta}{\eta/2+(k+1)\eta}$ para $k\in\mathbb Z.

Answer 2

Considera las funciones $$f_r(x) = \cases{ x & for $x \le r$\cr 2r-x & for $r < x \le r + \eta/2$\cr x - \eta & for $x > r + \eta/2$\cr }$$ Ten en cuenta que $f_r(x+\eta) \ge f_r(x)$, con igualdad si y solo si $r-\eta/2 \le x \le r$, y $f_r(x+t) > f_r(x)$ si $t > \eta$. Si $x \le y$ y $r > y$ tenemos $f_r(x) \le f_r(y)$, mientras que si $y \le x \le y+\eta$ tenemos $f_r(x) \le f_r(y)$ si $(x,y)$ está en la región cerrada en forma de diamante con vértices en $(r,r), (r+\eta/2,r+\eta/2),(r+\eta,r),(r+\eta/2,r-\eta/2)$. Así que podemos tomar ${\cal F} = \{ f_{j \eta/2}: j \in {\mathbb Z}\}$.

Answer 3

Sea $g$ la función tal que $g(x)=x$ si $x\leq0$, y $g(x)=0$ si $0