¿Vaciar el espacio métrico, completa?

Question

Tengo dos preguntas.

1. Puede que el conjunto vacío se formó en un espacio métrico?

2. Si existe, ¿es completa?

He pensado que el conjunto vacío es un espacio métrico completo, ya que nos puede dejar a $d:\emptyset\times\emptyset\to\mathbb{R}$ a ser el vacío de la métrica en el conjunto vacío, y dado que no existe una secuencia de Cauchy que no convergen en el emptyset.

Pero, como yo estaba leyendo un libro, me encontré con que un espacio métrico no puede ser escrito como una contables de la unión de la nada subconjuntos densos... Por este teorema, me encontré con que el conjunto vacío no puede ser completa, ya que el conjunto vacío es un lugar denso subconjunto de sí mismo.

Así, tengo a la conclusión de que el conjunto vacío no puede ser formado en un espacio métrico?

Answer 1

1. Es una cuestión de convención, pero estoy de acuerdo con Qiaochu que el "derecho" la respuesta es sí. Por ejemplo, queremos que cualquier subconjunto de un espacio métrico a ser un espacio métrico. Como te has dado cuenta, podemos tomar la medida se $d: \varnothing \times \varnothing \to \varnothing$, y que sin duda satisface los axiomas necesarios: $\forall x \forall y \; d(x,y) = d(y,x)$; $\forall x \; d(x,x) = 0$; $\forall x \forall y \forall z \; d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$.

   Por supuesto, hay algunos aspectos técnicos, por ejemplo, el diámetro de este espacio. Aquí está una pregunta relacionada con ninguna respuesta todavía.

2. El vacío de espacio métrico es completa.

   En primer lugar, como te has dado cuenta, cada secuencia de Cauchy converge (ya que no hay secuencias de Cauchy).

   En segundo lugar, si bien es cierto que el vacío de espacio métrico puede ser escrito como una contables de la unión de la nada densos conjuntos ($\varnothing$ es denso en ninguna parte), parece que este es un caso especial. Mira la declaración de la categoría de Baire teorema de aquí. A partir de la definición de $\varnothing$ cheques como un espacio de Baire, así BCT1 sostiene. BCT3 se expresa como

   BCT3. No está vacío completo espacio métrico NO es el contable de la unión de la nada-densos conjuntos cerrados.

   Observe que el espacio se estipula a ser no-vacío, así que BCT3 tiene vacuously así. (Debe haber algo en la prueba de que BCT1 y BCT3 son equivalentes que causa el no-vacío condición a surgir.)