A $(d,\lambda)$ -El expansor cuántico es una distribución $\nu$ sobre el grupo unitario $\mathcal{U}(d)$ con la propiedad de que: a) $|\mathrm{supp} \ \nu| =d$ , b) $\Vert \mathbb{E}_{U \sim \nu} U \otimes U^{\dagger} - \mathbb{E}_{U \sim \mu_H} U \otimes U^{\dagger}\Vert_{\infty} \leq \lambda$ , donde $\mu_H$ es la medida de Haar. Si en lugar de distribuciones sobre unitarios consideramos distribuciones sobre matrices de permutación, no es difícil ver que recuperamos la definición habitual de un $d$ -Gráfico expansivo regular. Para más información, véase por ejemplo Expansores eficientes del producto tensorial cuántico y diseños k por Harrow y Low.
Mi pregunta es: ¿admiten los expansores cuánticos algún tipo de interpretación geométrica similar a la de los expansores clásicos (donde la brecha espectral $\sim$ isoperimetría/expansión del gráfico subyacente)? No defino formalmente la "realización geométrica", pero conceptualmente cabría esperar que el criterio puramente espectral pueda traducirse a alguna imagen geométrica (que, en el caso clásico, es la fuente de riqueza matemática de la que gozan los expansores; la estructura matemática de los expansores cuánticos parece ser mucho más limitada).
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Un expansor cuántico es una elección aleatoria de uno de los d unitarios, y un expansor clásico es una elección aleatoria de una de las d permutaciones. Los dos son completamente análogos. No sé qué intuición tienes respecto a uno que no encuentras en el otro, ¿quizás no te gusta que el unitario pueda estar arbitrariamente cerca de la identidad?