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Imagen geométrica detrás de los expansores cuánticos

A $(d,\lambda)$ -El expansor cuántico es una distribución $\nu$ sobre el grupo unitario $\mathcal{U}(d)$ con la propiedad de que: a) $|\mathrm{supp} \ \nu| =d$ , b) $\Vert \mathbb{E}_{U \sim \nu} U \otimes U^{\dagger} - \mathbb{E}_{U \sim \mu_H} U \otimes U^{\dagger}\Vert_{\infty} \leq \lambda$ , donde $\mu_H$ es la medida de Haar. Si en lugar de distribuciones sobre unitarios consideramos distribuciones sobre matrices de permutación, no es difícil ver que recuperamos la definición habitual de un $d$ -Gráfico expansivo regular. Para más información, véase por ejemplo Expansores eficientes del producto tensorial cuántico y diseños k por Harrow y Low.

Mi pregunta es: ¿admiten los expansores cuánticos algún tipo de interpretación geométrica similar a la de los expansores clásicos (donde la brecha espectral $\sim$ isoperimetría/expansión del gráfico subyacente)? No defino formalmente la "realización geométrica", pero conceptualmente cabría esperar que el criterio puramente espectral pueda traducirse a alguna imagen geométrica (que, en el caso clásico, es la fuente de riqueza matemática de la que gozan los expansores; la estructura matemática de los expansores cuánticos parece ser mucho más limitada).

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Un expansor cuántico es una elección aleatoria de uno de los d unitarios, y un expansor clásico es una elección aleatoria de una de las d permutaciones. Los dos son completamente análogos. No sé qué intuición tienes respecto a uno que no encuentras en el otro, ¿quizás no te gusta que el unitario pueda estar arbitrariamente cerca de la identidad?

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memius Puntos 1529

En el mismo artículo enlazado en la pregunta, los autores mencionan los límites de las TPEs, en el Teorema 1.6: Sea $v_C$ sea un clásico $(N, D, 1- l_C)$ TPE, y para $0<p<1$ , defina $v_Q = pv_C+ (1-p)\delta_F$ . Supongamos que $e_A$ = $1-2(2k)^4k/\sqrt{N}>0$ . Entonces $v_Q$ es un quantum $(N,D+1, 1-e_Q, k)$ TPE donde $e_Q$ es mayor o igual que $e_A/12*\min (pe_C, 1-p)>0$ . Este límite se optimiza cuando $p= 1/(1+l_C)$ en cuyo caso tenemos $e_Q$ es mayor o igual que $e_A e_C/24$ . Esto significa que cualquier grado constante y la brecha $2k$ El TPE clásico da una $k$ quantum TPE, con una brecha constante. Si el TPE clásico es eficiente, el cuántico también lo es. A partir de estos resultados, creo que existe una interpretación geométrica similar, excepto que está limitada cuando $2k$ >N, para los expansores cuánticos.

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No veo cómo se supone que esto va a ayudar.

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Clay Nichols Puntos 559

Para los expansores clásicos, la definición espectral puede expresarse en términos del segundo valor propio más pequeño del laplaciano del gráfico, que puede considerarse como el mínimo de una forma cuadrática sobre todos los vectores unitarios ortogonales al vector todo-uno. Si restringimos esta minimización a vectores de la forma (a,a,...,a, b,b, ..b), se obtiene la expansión de aristas del gráfico. aquí es una discusión. La equivalencia aproximada de estas dos definiciones se conoce como La desigualdad de Cheeger .

Esto sugiere que para el caso cuántico debemos considerar la acción del canal (formado por la aplicación de un unitario aleatorio del expansor) sobre los proyectores. Un resultado análogo a la desigualdad de Cheeger se deriva en el Apéndice A de arXiv:0706.0556 .

Por otro lado, aunque esto es matemáticamente análogo, todavía conocemos muchas menos aplicaciones de los expansores cuánticos que las que se conocen para los expansores clásicos.

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