¿Dado un grupo finito si se conoce el grupo del automorphism es posible escribir todos los automorphisms con respectivas órdenes? Por ejemplo el grupo $Z_{p^{2}}$ tiene automorphism grupo isomorfo a $Z_{p(p-1)}$ y tengo que encontrar un automorphism de la orden $p$, $p-1$. Ahora sé un automorfismo de orden $p$ es $y \mapsto y^{p+1}$. Pero, ¿cómo realmente encontrar hacia fuera para esto otros grupos?
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A continuación se muestra algunos antecedentes sobre la automorphism grupo de cualquier grupo cíclico $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, a continuación, le damos una forma general para encontrar un elemento de orden $p$, y dejar el caso de potencias $p-1$ por el momento.
En primer lugar, tenga en cuenta que un automorphism $\psi:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ está totalmente determinado por la imagen de $1$. Por lo $\psi(1)$ debe ser un elemento relativamente primer a $n$, de lo contrario el pedido se derrumba. Es decir, si $\psi(1)=d$ donde$\gcd(d,n)>1$,$ord(d)<n$.
Por lo $\psi(1)$ es relativamente primer a $n$ y no son exactamente $\phi(n)$ opciones para la imagen de $1$, cada uno de los cuales determinar un único automorphism del grupo $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Esto le da a $|Aut(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})|=\phi(n)$ y cada elemento del grupo es un mapa de $1\mapsto r$ donde $\gcd(r,n)=1$.
Deje $\psi_r$ denotar el mapa de $1\mapsto r$$Aut(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$. Para calcular el $ord(\psi_r)$ nota $\psi_r(1)=r$, $\psi_r(\psi_r(1))=r^2$, y así sucesivamente. De esta manera podemos definir un isomorfismo $Aut(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\rightarrow (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ mediante el envío de $\psi_r\mapsto r$.
Así que el problema es equivalente a encontrar el que menos energía $m$ tal que $r^m\equiv 1 \pmod{n}$ y para encontrar un elemento $r$ tal que $r^m\equiv 1\pmod{n}$ $m$ fijo.
Vamos a trabajar en $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ para los impares primos $p$ ahora de manera que los elementos de $Aut(\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z})$$\{1,...,p-1,p+1,...,2p-1,2p+1,...,p^2-1\}$. Queremos elegir un elemento $r$ de los de arriba de tal manera que cuando elevado a la potencia de $p$ obtenemos $1$.
Elija un elemento general $(mp+k)$ donde$k\in \{1,...,p-1\}$$m\in \{0,...p-1\}$. Por el teorema del binomio tenemos
$$(mp+k)^p=\sum_{i=0}^p {p\choose i}(mp)^{p-i}(k)^i$$
Tomando congruencias módulo $p^2$ da los últimos dos términos
$$(mp+k)^p\equiv {p\choose p-1}(mp)k^{p-1}+k^p\equiv k^p \pmod{p^2}$$
Donde el último de la congruencia se encuentra tras el cálculo de ${p\choose p-1}=p$. Así podemos comprobar todos los poderes $k^p\equiv 1 \pmod{p^2}$ donde $k\in \{1,...,p-1\}$ y recibimos a todos los demás por la variación de $m\in \{0,...,p-1\}$.
Para encontrar al menos una solución observe $k=1$ satisface $k^p\equiv 1 \pmod{p^2}$, de modo que podemos tomar a cualquier elemento del conjunto $\{1, p+1, 2p+1,..., p^2-p+1\}$.
Ahora para el caso de que el poder de la $p-1$ podemos seguir a los anteriores por lo que el teorema del binomio da
$$(mp+k)^{p-1}=\sum_{i=0}^{p-1}{p-1\choose i} (mp)^{p-1-i}k^i$$
Tomando congruencias de nuevo
$$(mp+k)^{p-1}\equiv {p-1\choose p-2}(mp)k^{p-2}+k^{p-1}=(p-1)(mp)k^{p-2}+k^{p-1}\equiv k^{p-1}-mpk^{p-2}\pmod{p^2}$$
Por ello, queremos simplificar $k^{p-1}-mpk^{p-2}=(k-pm)k^{p-2}\equiv 1\pmod{p^2}$. Actualmente estoy atascado así que lo voy a pensar acerca de esta última para un poco.
