¿Existen siempre categorías opuestas?

Question

La categoría inversa de C se define estableciendo hom(x,y)=hom(y,x) para todos los objetos x,y de C. Sin embargo en una categoría concreta, los morfismos no siempre tienen inversos (porque las funciones no siempre tienen inversos). Así que me pregunto cómo es posible construir siempre una flecha inversa para una flecha dada y si es posible o no construir siempre la categoría inversa.

Edición: Gracias por las respuestas y las referencias, creo que entiendo la parte principal de la pregunta. Según entiendo, cuando construyes la categoría opuesta te olvidas de todo el significado que tienen los objetos y morfismos e inviertes las flechas sólo en términos de clases de objetos y conjuntos de morfismos. Una pregunta que tengo es la siguiente. Cuando dices un enunciado sobre una categoría obtienes el enunciado dual de forma "gratuita" porque la prueba también se aplica en la categoría opuesta. ¿Sólo se obtienen cosas gratis cuando se habla de tipos de categorías y no de categorías específicas? Por ejemplo, en la categoría de grupos, los productos siempre existen pero la coproducción no.

Answer 1

Basándome en tu aclaración, estoy bastante seguro de que estoy respondiendo a la pregunta correcta, pero hazme saber si en realidad estás preguntando algo diferente. Además, he añadido un fragmento al final para responder a la nueva pregunta de tu edición.

Las categorías opuestas siempre existen, y su construcción no requiere que pensemos nunca en lo que un morfismo "realmente es", ni que realicemos operaciones complejas sobre los morfismos de ninguna manera; es un proceso totalmente formal.

En concreto, la "flecha invertida" en una categoría opuesta correspondiente a una "flecha inicial" $\alpha$ es la flecha de salida $\alpha$ . Es decir, las flechas de $C^{\rm op}$ son exactamente iguales a las flechas de $C$ Sólo que "quieren decir" lo contrario.

Por ejemplo, considere la categoría $\bf Set$ . Los objetos son conjuntos y los morfismos son funciones entre conjuntos. Por ejemplo, la función $f: \{0, 1\}\rightarrow \{0\}:0\mapsto0, 1\mapsto 0$ es un morfismo de $\{0, 1\}$ a $\{0\}$ .

En ${\bf Set}^{\rm op}$ El mismo $f$ sigue siendo un morfismo, sólo que ahora $f$ es un morfismo de $\{0\}$ a $\{0, 1\}$ .

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De manera algo más formal, lo que ocurre es lo siguiente. A grandes rasgos, una categoría $C$ consiste en una colección $\mathcal{O}$ de objetos, y - para cada par de objetos $x, y\in\mathcal{O}$ - una colección ${\rm Hom}(x, y)$ de cosas que llamamos "morfismos de $x$ a $y$ ." (También exigimos que haya una operación de composición adecuada, y bla bla bla).

La cuestión es, sin embargo, que nosotros no exigir nada sobre lo que un morfismo "realmente es". La colección ${\rm Hom}(x, y)$ es sólo eso: una colección. Sus miembros pueden ser cualquier cosa.

La construcción de la categoría opuesta define una categoría $C^{\rm op}$ que conste de los siguientes datos:

• Los objetos de $C^{\rm op}$ son exactamente los objetos de $C$ .

• Los morfismos de $C^{\rm op}$ se definen como: ${\rm Hom}_{C^{\rm op}}(x, y)={\rm Hom}_C(y, x)$ .

Nótese que esto no implica "invertir los morfismos" en absoluto: un morfismo de $x$ a $y$ en $C^{\rm op}$ es literalmente lo mismo que un morfismo de $y$ a $x$ en $C$ . En ningún momento "profundizamos" en los morfismos de ninguna manera.

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NUEVA: Has preguntado adicionalmente:

Cuando se dice una afirmación sobre una categoría se obtiene la doble afirmación de forma "gratuita" porque la prueba también se aplica en la categoría opuesta. ¿Sólo se obtienen cosas gratis cuando se habla de tipos de categorías y no de categorías específicas?

Sí . Si $\varphi$ es una afirmación verdadera de una categoría $\mathcal{C}$ su declaración "dual" $\varphi^{op}$ es cierto para la categoría $\mathcal{C}^{op}$ , pero no necesariamente de $\mathcal{C}$ sí mismo .

Para un ejemplo tonto de esto, considere una categoría con tres objetos $a, b, c$ y cinco flechas: las flechas de identidad, una única flecha no trivial de $a$ a $b$ y una única flecha no trivial desde $a$ a $c$ . Esta categoría satisface la afirmación "Hay un objeto del que salen tres flechas". Sin embargo, la categoría opuesta no satisfacen esta afirmación. A la inversa, la categoría opuesta satisface "Hay un objeto con tres flechas que entran en él", mientras que la categoría original no lo hace.

Y, como sugieres, la existencia de productos no implica la existencia de coproductos, y viceversa (aunque tu ejemplo no era correcto).

Lo que hacer obtener "gratis" son teoremas sobre las categorías generales Si demuestran que $\varphi$ tiene de cada categoría, entonces también sabe que $\varphi^{op}$ tiene de cada categoría; esto se debe a que $\varphi^{op}$ debe mantener de la frente a de cada categoría, ¡pero cada categoría es el opuesto de su opuesto! (Es decir, $(\mathcal{C}^{op})^{op}=\mathcal{C}$ .)

(También puede obtener "gratis" teoremas sobre clases de categorías que ya ha demostrado que están cerradas bajo $^{op}$ Por ejemplo, si la categoría opuesta a toda categoría de fleen es también de fleen, entonces habiendo demostrado que "toda categoría de fleen tiene coproductos" inmediatamente obtengo que "toda categoría de fleen tiene productos").

Answer 2

Si $\mathcal{C}$ es una categoría, entonces la categoría opuesta $\mathcal{C}^{op}$ es otra categoría. No es la misma categoría que $\mathcal{C}$ .

Así que si tienes alguna declaración $P$ puede probar para todo categorías, esa afirmación será válida para $\mathcal{C}^{op}$ . En particular, la afirmación de que $P$ es cierto para $\mathcal{C}^{op}$ implica la "versión dual de $P$ "es cierto para $\mathcal{C}$ . Así es como se pueden dualizar teoremas "gratis" en la teoría de categorías: si $P$ es verdadera en todas las categorías, entonces el dual de $P$ también es cierto en todas las categorías (aplicando $P$ a la categoría opuesta).

Sin embargo, esto sólo funciona si se sabe $P$ es cierto en todo categorías. Así, por ejemplo, en la categoría $\mathtt{Set}$ es cierto que si $X$ es un objeto y existe un mapa desde $X$ a un objeto inicial, entonces $X$ es inicial. (Concretamente, si existe un mapa de $X$ al conjunto vacío, $X$ debe estar vacío). La doble afirmación sería que si $X$ es un objeto y existe un mapa de un objeto terminal a $X$ entonces $X$ es terminal. Esta afirmación es no verdadero en $\mathtt{Set}$ ¡! (De hecho, cualquier conjunto no vacío $X$ tiene un mapa de un objeto terminal).

Todo lo que sucede aquí es que la declaración $P$ "si $X$ es un objeto y existe un mapa desde $X$ a un objeto inicial, entonces $X$ es inicial" no es cierto en cada categoría. Así que no hay razón para pensar que si $P$ es cierto en $\mathcal{C}$ debe ser también cierto en $\mathcal{C}^{op}$ . En particular, si bien es cierto en $\mathtt{Set}$ no es cierto en $\mathtt{Set}^{op}$ . Como resultado, el dual de $P$ no es cierto en $\mathtt{Set}$ .

Answer 3

Formalmente una categoría concreta es una categoría $\mathcal C$ junto con un functor fiel $F: \mathcal C \rightarrow \textrm{Set}$ . Informalmente, esto dice que se puede pensar en los objetos de $\mathcal C$ como conjuntos y los morfismos como funciones entre sus conjuntos. Y según entiendo tu pregunta, quieres saber si podemos considerar $\mathcal C^{\textrm{op}}$ de la misma manera.

Esto es cierto, porque $\textrm{Set}^{\textrm{op}}$ en sí mismo es concreto. Se puede encajar fielmente en la categoría $\textrm{Rel}$ de las relaciones, que es concreta. Véase https://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_category#Further_examples

Voy a escribir los detalles de por qué $\textrm{Set}^{\textrm{op}}$ se concreta mañana. Como señalas, no es factible identificar los elementos de $\textrm{Hom}_{\textrm{Set}^{\textrm{op}}}(A,B) = \textrm{Hom}_{\textrm{Set}}(B,A)$ como funciones literales de $A$ a $B$ tienes que hacer algo más complicado.