prueba de derivada de una función exponencial

Question

Me dijeron que asumir que

$$\ln b=\lim_{h\to 0} \frac{\left(b^h-1\right)}{h}$$

donde b es positivo, real, de base.

Por desgracia, se le dijo a asumir que algo no está bien.

Cuando se utiliza de L'Hospital de la base de $e$, se puede demostrar que el límite de enfoques $e^0$, que por supuesto es igual a 1, o, $\ln e$. Sin embargo, yo estaba colgado en demostrar que para cualquier base, el límite de la aproximación del logaritmo natural de la base, sin el uso de la prueba directa de que

$$\frac{d}{dx}b^x=b^x(\ln b)$$

que es lo que está tratando de ser demostrado en el primer lugar.

Es L'Hôpital incluso el derecho a la ruta para ir?

Gracias de antemano.

Answer 1

Tenga en cuenta que tenemos $$\frac{b^h-1}{h}=\frac{e^{h\log(b)}-1}{h} \tag 1$$

Ahora, en ESTA RESPUESTA, me mostró el uso de sólo el límite de la definición de la función exponencial y la Desigualdad de Bernoulli que la función exponencial satisface la desigualdad

$$e^x\ge 1+x \tag 2$$

De $(2)$ (junto con la propiedad de $e^xe^{-x}=1$) es fácil ver que para $x<1$

$$e^x\le \frac{1}{1-x} \tag 3$$

El uso de $(2)$$(3)$, podemos enlazado $(1)$

$$\log(b) \le \frac{e^{h\log(b)}-1}{h}\le \frac{\log(b)}{1-h\log(b)}$$

con lo cual la aplicación del teorema del encaje de los rendimientos de la codiciada límite

$$\lim_{h\to 0}\frac{b^h-1}{h}=\log(b)$$

Y hemos terminado!

Answer 2

Me gusta tu frase "por Desgracia, se le dijo a asumir algo que no es lo suficientemente bueno". Pero en estos días rara vez los estudiantes tienen esta actitud. Peor aún son los libros que preguntar a los estudiantes a asumir cualquier cosa que requiere menor esfuerzo para probar.

En esta respuesta he tratado con el límite de $(a^{h} - 1)/h$ $h \to 0$ y quiero añadir algunos comentarios aquí con la notación específica para su puesto. De tu post parece que su objetivo es encontrar la derivada de la función $f(x) = b^{x}$. La parte difícil es definir $b^{x}$ para cualquier número real $x$. Al $x$ es racional, el símbolo de $b^{x}$ puede ser definida usando el álgebra, pero al $x$ es irracional, entonces las cosas están un poco complicadas y hay varios enfoques para definir $b^{x}$ (todos los métodos son difíciles para un principiante y discutido en las publicaciones de mi blog).

Una vez que usted tiene una definición de $f(x) = b^{x}$ $b > 0$ es fácil ver que $$f'(x) = b^{x}\lim_{h \to 0}\frac{b^{h} - 1}{h} = b^{x}g(b)$$ where $g(b)$ denotes the limit of $(b^{h} - 1)/h$ as $h \to 0$. I have proved in my linked answer that the limit $g(b)$ exists for all $b > 0$. It can be further proved easily that function $g$ satisfies the following relations $$g(ab) = g(a) + g(b),\, g(a/b) = g(a) - g(b),\, g(1) = 0$$ Further we have inequalities $$\frac{x - 1}{x} \leq g(x) \leq x - 1$$ for $x \geq 1$ and from this inequality it is possible to show that $g'(x) = 1/x$ for all $x > 0$. This function $g(x)$ is traditionally denoted by symbol $\log x$ (or $\ln x$ which I don't prefer) and hence we have $$f'(x) = (b^{x})' = b^{x}g(b) = b^{x}\log b$$

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A petición del OP (a través de comentarios) me estoy dando a la derivación de $g'(x) = 1/x$ aquí (está disponible con más detalles en mi blog post enlazado anteriormente). Deje $x > 1$ y, a continuación, dividiendo la desigualdad asociada a $g(x)$ $(x - 1)$ tenemos $$\frac{1}{x} \leq \frac{g(x)}{x - 1} \leq 1$$ and using Squeeze theorem when $x \a 1^{+}$ we get $$\lim_{x \to 1^{+}}\frac{g(x)}{x - 1} = 1$$ The same result holds when $x \a 1^{-}$. If $x \a 1^{-}$ we put $x = 1/y$ so that $s \a 1^{+}$ as $x \a 1^{-}$ and then $$\lim_{x \to 1^{-}}\frac{g(x)}{x - 1} = \lim_{y \to 1^{+}}y\frac{g(1/y)}{1 - y} = \lim_{y \to 1^{+}}\frac{g(1/y)}{1 - y} = \lim_{y \to 1^{+}}\frac{g(y)}{y - 1} = 1$$ because from $g(a/b) = g(a) - g(b), g(1) = 0$ we easily get $g(1/y) = -g(y)$.

Por lo tanto hemos probado que la $g(x)/(x - 1) \to 1$$x \to 1$. Esto significa que $g(1 + x)/x \to 1$$x \to 0$. Tenemos \begin{align} g'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{g(x + h) - g(x)}{h}\notag\\ &= \lim_{h \to 0}\frac{g((x + h)/x)}{h}\notag\\ &= \lim_{h \to 0}\frac{g(1 + (h/x))}{(h/x)}\cdot\frac{1}{x}\notag\\ &= \frac{1}{x}\lim_{t \to 0}\frac{g(1 + t)}{t}\text{ (putting }t = h/x)\notag\\ &= \frac{1}{x}\notag \end{align}

Answer 3

¿Cómo ha definido $e$?

Lo aprendí primero como:

$$e = \lim_\limits{n\to \infty} (1+\frac{1}{n})^n$$

$$ \frac{d}{dx} e ^ x = \lim_\limits{h\to 0} \dfrac{e^{x+h}-e ^ x} {h} \\ (e ^ x) \lim_\limits{h\to 0} \dfrac{e^{h} - 1} {h} $$

expansión binomial de la definición de $e$

$$e = 1 + \frac{n}{n}+\frac{n(n-1)}{2n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!n^3}...\\e^h = 1 + h + \frac{h^2}{2!}+\frac{h^3}{3!}+\cdots$$

$$(e^x) \lim_\limits{h\to 0} \dfrac{e^{h} - 1}{h} = (e^x)\lim_\limits{h\to 0}\dfrac{h + \frac{h^2}{2!}+\frac{h^3}{3!}+\cdots}{h}$$

Answer 4

Primero la parte fácil: \begin{align} \frac d {dx} b^x & = \lim_{h\to 0} \frac{b^{x+h} - b^x} h \\[10pt] & = \lim_{h\to0} \left( b^x\ \frac{b^h - 1} h \right) & & (\text{just algebra}) \\[10pt] & = b^x \lim_{h\to0} \frac{b^h - 1} h & & (\text{because %#%#% does not change as %#%#% changes}) \\[10pt] & = (b^x\cdot\text{constant}). & & (\text{The limit is a "constant'' because it} \\ & & & \phantom{({}} \text{ does not change as %#%#% changes.}) \end{align}

Lo siguiente que necesitamos es este hecho: $$ \text{Si } b=e\aprox 2.71828\ldots \text {, a continuación, la "constante" es $b^x$; de lo contrario, algún otro número.} $$ ¿Cómo sabemos eso? Más sobre esto a continuación.

Por lo tanto, tenemos $h$.

Entonces, ¿qué es la "constante" al $x$? Aquí uno puede usar la regla de la cadena: \begin{align} \frac d {dx} b^x = \frac d {dx} e^{x\log_e b} = e^{x\log_e b} \cdot \frac d{dx} (x\log_e b) = b^x \frac d{dx} (x\log_e b) = \cdots. \end{align} Y $$ \frac d{dx} (x\log_e b) = \log_e b $$ por la misma razón que $1$, es decir, $\dfrac d{dx} e^x = e^x\cdot 1$ es una constante, es decir, no cambia como $b\ne e$ cambios.

La prueba de la regla de la cadena implica un ligero sutileza que no vienen en la mayoría de las pruebas básicas con derivados. He publicado sobre esto aquí antes.

Uno puede mostrar que este "natural" de la base, $\dfrac d {dx} (x\cdot5) = 5$, debe ser más que $\log_e b$ mediante la observación de que $x$, lo $e$ debe estar cambiando más lentamente de lo $2$ al $\dfrac{2^1 - 2^0}{1-0} = 1$, y que la base natural debe ser menor que $2^x$ porque $1$, lo $x=0$ debe estar cambiando a un ritmo más rápido que el de $4$ cuando $\dfrac{4^0 - 4^{-1/2}}{0 - (-1/2)} =1$. Así que hemos reducido a entre $4^x$$1$. Estrechamiento hacia abajo a $x=0$ por este método es ineficaz; pero otros métodos más eficientes que existen.