Representación de funciones como series de potencias

Question

Reescritura $$f(x)=(1+x)/(1-x)^2$$ como una serie de potencias.

El trabajo hasta ahora:

Lo separé en dos partes:

$$1/(1-x)^2 + x/(1-x)^2$$

Me doy cuenta de que la primera expresión es la derivada de $1/(1-x)$ y llegar a esta suma de series:

$$\sum_{n=0}^\infty x^n$$

Al tratarse de una derivada, debemos derivar la serie:

$$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1} + x \displaystyle\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}$$ $$=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty nx^n$$

Hay que añadir estas series, pero ¿cómo?

La respuesta final es $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (2n+1)x^n$

Answer 1

Desplazar los índices para que las potencias de $n$ dentro del partido:

$$\begin{align*} \sum_{n\ge 0}nx^{n-1}+\sum_{n\ge 0}nx^n&=\sum_{n\ge 1}nx^{n-1}+\sum_{n\ge 0}nx^n\\\\ &=\sum_{n\ge 0}(n+1)x^n+\sum_{n\ge 0}nx^n\\\\ &=\sum_{n\ge 0}(2n+1)x^n\;. \end{align*}$$

Puede ser más fácil de entender al principio si se escriben algunos términos:

$$\left(1+2x+3x^2+\ldots+(n+1)x^n+\ldots\right)+\left(x+2x^2+3x^3+\ldots+nx^n+\ldots\right)$$

Aquí se puede ver que el coeficiente de $x^n$ en la primera suma es $n+1$ y el coeficiente de $x^n$ en la segunda suma es $n$ por lo que al combinar las sumas el coeficiente de $x^n$ debe ser $2n+1$ .

Si encuentra el turno

$$\sum_{n\ge 1}nx^{n-1}=\sum_{n\ge 0}(n+1)x^n$$

un poco misterioso, hazlo con un paso intermedio: deja que $k=n-1$ para que $n=k+1$ y sustituir para obtener

$$\sum_{n\ge 1}nx^{n-1}=\sum_{k+1\ge 1}(k+1)x^k=\sum_{k\ge 0}(k+1)x^k\;,$$

y luego simplemente cambiar el nombre de la variable de índice de nuevo a $n$ .

Answer 2

Ampliar $(1-x)^2$ en $(1-2x+x^2)$ .

A continuación, utiliza la división larga para dividir $(1-2x+x^2)$ en $(1+x)$ .

Deténgase cuando tenga suficientes términos en el cociente para identificar el patrón.

¿Parece demasiado fácil?

Answer 3

$$ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\ldots $$ $$ \frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+\ldots $$ $$ \frac{1+x}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+\ldots +x+2x^2+ 3x^3+\ldots=1+3x+5x^2+7x^3+\ldots $$