Distribución Binomial Negativa

Question

Por qué se define la distribución binomial negativa como $$P(X=x|r,p)= \binom{x-1}{r-1}p^{r}(1-p)^{x-r}$ $

Básicamente se trata de la probabilidad de que $x$ $r$ éxito se necesitan ensayos de Bernoulli. Así que tenemos $r-1$ éxitos en los primeros ensayos de #% de #% %. Éxito en el $x-1$ ensayo pasa entonces con probabilidad $r^{th}$. Por qué no podemos escribirlo como el siguiente:

$p$$

Esto significa que usted tiene $$P(X = x|r,p) = \binom{x}{r}p^{r} (1-p)^{x-r}$ éxitos en los primeros ensayos de $r$.

Answer 1

Usted escribió que $x$ ensayos son necesarios para $r$ éxitos. Esto significa en particular que $x-1$ ensayos no fueron suficientes. Así llegamos a nuestra meta de $r$ éxitos en el $x$-ésimo ensayo.

Supongamos por ejemplo que le estamos lanzando una moneda hasta que consigue el primer lugar de la cabeza. ¿Cuál es la probabilidad de que $2$ lanzamientos son necesarios para $1$ éxito? Aquí $x=2$$r=1$. Dos lanzamientos son necesarios precisamente si queremos conseguir TH. Esto ha probabilidad de $1/4$. Por el contrario, la probabilidad de que exactamente uno de cabeza en dos lanzamientos de es $1/2$.

Answer 2

Una de las razones de la negativa distribución binomial está escrito de esa manera es que $$\sum_{x=r}^\infty \binom{x-1}{r-1}p^{r}(1-p)^{x-r} =1$$ mientras que$\sum_{x=r}^\infty \binom{x}{r}p^{r}(1-p)^{x-r} \gt 1$, por lo que no es una distribución de probabilidad.

La causa de esto es la no-eventos mutuamente excluyentes: si usted toma una secuencia de ensayos, luego de que la secuencia puede incluir tanto a los 4 ensayos y 2 éxitos, y (si el quinto juicio, entonces es un fracaso) 5 ensayos y 2 éxitos; sólo se consigue eventos mutuamente excluyentes si se detiene cuando usted primero tiene 2 éxitos.

Un enfoque alternativo podría ser $Y$ el número de fracasos antes de la $r$th éxito con $\Pr(Y=y) = \binom{y+r-1}{r-1}p^{r}(1-p)^{y}$ anotando $$\sum_{y=0}^\infty \binom{y+r-1}{r-1}p^{r}(1-p)^{y} =1.$$

Por supuesto, usted puede buscar en la distribución binomial, tomando la suma de $r$ ($x$fijo) a través de su formulación y obtención de $$\sum_{r=0}^x \binom{x}{r}p^{r}(1-p)^{x-r} = 1.$$