Me pregunto si hay una prueba simple de esta declaración:
Una esfera con $g$ mangos tiene paquete tangentes triviales iff $g=1$
Sé que es un corolario del teorema de Poincaré-Hopf , pero parece que es demasiado duro para este problema.
Respuestas
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Supongamos que la tangente de un lote a un compacto, orientable superficie $M$ género $g\geq2$ es trivial. En particular, existe un campo de vectores $X$ $M$ que es la nada, cero.
Podemos elegir una métrica de Riemann en $M$ tal que $X$ está en todas partes de la norma $1$, por lo que sus curvas integrales son todos parametrizada por longitud de arco. Deje $\phi:\mathbb R\times M\to M$ ser el flujo de $X$, y para cada una de las $t\in\mathbb R$ deje $\phi_t=\phi(t,\mathord-):M\to M$. Está claro que todos los mapas $\phi_t$ son homotópica a la identidad, por lo que su Lefschetz número $\Lambda(\phi_t)$ es igual a $\Lambda(\mathrm{id}_M)=\chi_M$, la característica de Euler de $M$. Desde $g\geq2$, $\chi_M\neq0$ y por lo tanto Lefschetz del punto fijo teorema nos dice que para todos los $t>0$ el mapa de $\phi_t$ tiene un punto fijo.
Ahora coger $\epsilon>0$ tan pequeños que en cada bola de radio $\epsilon$ (con respecto a la métrica derivada de la métrica de Riemann me eligió antes), está contenida en un gráfico de coordenadas, y deje $t=\epsilon/2$ $x\in M$ un punto fijo de $\phi_t$. La integral de la curva de $X$ a través de $x$ es un círculo de diámetro en la mayoría de las $\epsilon$, por lo que está contenida en una coordenada parche. Por lo tanto, los límites de un (cerrado,liso) disco de $D$. La restricción del campo de vectores $X$ a este disco está en ninguna parte de cero y es tangente a la frontera de $D$.
Esto es imposible. Una forma de ver que es el uso de thw siguiente resultado fácil:
Lema. Deje $D$ ser la unidad de disco en el avión. No hay ningún lugar vector cero de campo en $D$ que es tangente a la frontera de $D$.
Prueba. Un campo vectorial puede ser normalizada para dar un mapa de $X:D\to S^1$. La restricción $X|_{S^1}:S^1\to S^1$ $X$ $S^1=\partial D$no tiene puntos fijos, de modo que el número de Lefchetz $\Lambda(X|_{S^1})$ es cero. Se sigue de esto que el $X|_{S^1}$ tiene que actuar como la identidad en $H_1(S^1)$. Esto es imposible, ya $X|_{S^1}$ es homotópica a una constante mapa.
Igor Rivin
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11326
La única prueba tienen todos es el teorema de Poincare-Hopf, o una versión ligeramente más débil que afirma que la existencia de un campo del vector no desaparición equivale a la desaparición de la característica de euler. Cualquier otra prueba que se puede ver será una versión disfrazada de esta declaración.
HadleyHope
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813
Supuesto, esto no es una prueba, pero sólo se pretende dar una imagen intuitiva (lo siento por la mala dibujos).
En primer lugar, trazar una imagen del toro $T^2$,$g=1$. Es fácil ver que se puede dibujar en ella una constante tangente paquete, poniendo el mismo vector en cada punto.
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A continuación, considere $S^2$, la costumbre de la esfera con $g=0$. Aquí las cosas son diferentes... intentar iniciar desde el ecuador y dibujar la tangente vectores que son perpendiculares a la línea del ecuador, dice apuntando hacia arriba y, a continuación, tratar de extender el paquete en la parte superior emisphere. Verás que en los polos norte los vectores necesidad de converger, lo que produce una singularidad. No se permite! (Este es el peludo teorema de la bola)
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Por último, considere la posibilidad de una $2$-toro con $g=2$. Se puede producir por pegado de dos $1$-tori, y es fácil ver que no hay manera de hacer que la constante de paquetes en los que encajar.
lavinia
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271
La de Poincaré-Hopf teorema no es necesaria para demostrar el teorema.
La suma de los índices de un campo vectorial aislado con ceros es el mismo para todos los campos vectoriales. Esto se deduce debido a que un campo vectorial es una suave mapa de la superficie en su tangente bundle, que es transversal a la sección cero. Dado ello se necesita un campo de vectores cuyos índices son fáciles de calcular. Un ejemplo es el campo de vectores que fluye desde el barycenters de los triángulos en una triangulación de la superficie hacia los vértices. Este vector campo tendrá ceros de índice 1 en los vértices y en el baricentro de cada triángulo y los ceros de índice de -1 en el baricentro de cada borde.
Aquí hay otra manera de evitar la de Poincaré-Hopf Teorema de
La tangente paquete de una orientada a la superficie tiene un complejo natural de la estructura. Dado un Levi-Civita de conexión, la primera clase de Chern de la tangente paquete está representado por la curvatura de la forma 2 (o de Gauss-Bonnet 2) dividido por 2pi. Por lo tanto, la integral de la curva 2 de la forma sobre la superficie es la misma para todas las conexiones, ya que todas dan a la evaluación de la primera clase de Chern en la fundamental del ciclo de la superficie.
Para la esfera con el estándar de conexión, la integral es de 2, Para el toro es cero debido a que el toro puede ser dada en un plano de conexión. Para superficies de más de un género como la integral es un entero negativo, ya que todo puede ser dado conexiones con curvatura negativa constante.
Pero la tangente paquete puede no ser trivial si la primera clase de Chern no es cero, por lo que el toro es el único.
berto
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113
He encontrado una escuela a nivel de solución en el folleto Skopenkov A. B. Característico de las clases para principiantes (en ruso), existe una versión reducida de esta prueba.
Elija una triangulación, un punto dentro de cada uno de los triángulos, equipado con los no-vector cero, y las rutas de acceso entre los centros de los triángulos adyacentes. Vamos a llamar a la unión de estos caminos como esqueleto.
Deformar nuestra supuesta campo de vectores para coincidir con los vectores en los vértices de esqueleto. Como este campo no tiene ceros, la rotación del vector a lo largo de cualquiera de las curvas de triangulación, alrededor de un vértice de la triangulación, es cero.
Pero para cualquier campo vectorial en el esqueleto de la suma de estos números es el mismo (de hecho, es igual a la característica de Euler, como es el caso especial de la clase de Euler de una tangente bundle), debido a un cambio de campo vectorial a lo largo de una de las rutas de agregar $k$ a uno de triángulos adyacentes y $-k$ a otro.
Es fácil calcular de forma explícita por esferas con $g$ manos de la poligonal modelo, obtener la característica de Euler, y demostrar que no existe la no-desaparición de campo de vectores en la esfera de con $g$ asas para $g \ne 1$.
