Definición de una filtración en un anillo, módulo, álgebra

Question

En la mayoría de los libros, un graduado de anillo/módulo/álgebra significa un $\mathbb{N}$- o $\mathbb{Z}$-graduado/anillo del módulo/álgebra. Pero a menudo, diferentes clasificaciones aparecen: doblemente gradual (espectral de secuencias) = $\mathbb{N}^2$- o $\mathbb{Z}^2$-graduado; multigraded = $\mathbb{N}^n$- o $\mathbb{Z}^n$-graduado; superalgebra = $\mathbb{Z}_2$-graduado; etc. Es deseable tener una definición que sea lo suficientemente general, y aún conserva la mayoría de las propiedades de generalmente gradual de los objetos. Una tal definición (creo) es la siguiente:

Deje $G$ ser cualquier monoid, escrito de forma aditiva, aunque conmutatividad de la $G$ no está asumido. Un $G$-graduado anillo es un anillo de $R$ junto con un elegido suma directa de la descomposición aditiva de los subgrupos $R\!=\!\bigoplus_{i\in G}\!R_i$, de tal manera que el anillo de la multiplicación satisface $R_iR_j\!\subseteq\!R_{i+j}$. Un $G$-graduado $R$-módulo es una $R$-módulo de $M$ que tiene una suma directa de descomposición en $R$-submódulos $M\!=\!\bigoplus_{i\in G}\!M_i$. Un $G$-graduado $R$-álgebra es una $R$-álgebra $A$ que tiene una suma directa de descomposición en $R$-submódulos $A\!=\!\bigoplus_{i\in G}\!A_i$ tal que $A_iA_j\!\subseteq\!A_{i+j}$. En el caso de $R$ $G$- graduado anillo, hay más definiciones generales de $G$gradación de módulos y álgebras.

Pregunta 1: ¿estas definiciones se aplican sólo a conmutativa y anillos de álgebras? Son clasificaciones utilizadas en álgebra no conmutativa?

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Deseo tener una lo suficientemente general como la definición de una filtración en un anillo/módulo/álgebra así:

1. el índice de ajuste no necesariamente $\mathbb{N}$ o $\mathbb{Z}$;
2. preferiblemente, la definición de los anillos/modules/álgebras son compatibles cuando un anillo de $R$ es visto como un $R$-módulo y un $\mathbb{Z}$-álgebra;
3. preferiblemente se define para no conmutativa anillos y álgebras así.

La mayoría de los libros definir una filtración como una secuencia. Hay algunas generalizaciones:

En Grillet del Álgebra Abstracta, p. 462:

En Pete Clark Álgebra Conmutativa notas, p.50:

En Las Pilas De Proyecto, 10. Álgebra Homológica, 13. Filtraciones:

Pregunta 2: ¿Cuál es la definición correcta de una filtración de un anillo/módulo/álgebra en lo que respecta a 1,2,3? Si $R$ es no conmutativa, debemos tomar a la izquierda o a dos caras ideales para obtener una filtración? ¿El conjunto de índices deben ser totalmente ordenado, o un monoid, o un grupo, o dirigido?

Me doy cuenta de que la respuesta es, probablemente, va a ser "depende de lo que quieras hacer con una filtración", y ya que todavía no sabe lo que es o puede ser hecho con filtraciones, o incluso lo que su uso principal es, solo voy a decir que mi motivación viene de la Topología Algebraica, Álgebra Homológica, y Álgebra Conmutativa. Me gustaría simplemente tener una definición, lo suficientemente general como para que yo no estoy confundido cuando me tome 10 libros diferentes y cada uno tiene una definición poco diferente de una filtración.

Answer 1

Muy breve respuesta: Clasificaciones y las filtraciones, se utilizan en todas partes para álgebras asociativas.

No muy detallada exposición (espero que no conocemos a la mayoría de los términos, pero yo soy solo el listado de cosas que yo sé que los ejemplos de formulario para la respuesta de sus preguntas)

(Q1) la Búsqueda de una buena calificación (normalmente finito dimensionales) álgebra asociativa se ha convertido en uno de los principales tendencia en los últimos años en la teoría de la representación. La clasificación de las personas están buscando son generalmente el Koszul de clasificación, es decir, una clasificación, de modo que el álgebra es Koszul. Las personas que son más DG(diferencial graduada)-orientado pueden necesitar más que un Z positivo de clasificación. Esto viene bajo el nombre de Adams de clasificación (que sigue siendo un grupo de gradación de la teoría de todos modos)

Otro uso de la clasificación sé de: grado en el que el preprojective álgebra de finito tipo y tomar un gran producto con ello, se llegaría a una malla de álgebra.

En una cáscara de nuez, como usted ha dicho, que realmente depende de lo que usted desea en el final antes de empezar a buscar una clasificación.

(Q2) de Nuevo sólo puedo dar ejemplos, que yo sepa. Si $A$ es cuasi-hereditario álgebra, entonces hay ciertos objetos llamados los módulos estándar, que presentan ciertas niza (homológica) propiedades. La categoría de los objetos que pueden ser filtrados por módulos estándar tienen muy interesante homológica propiedades (esto ocurre no sólo en cuasi-hereditaria álgebras), tales como, son contravariantly finito.

Si $A$ es Koszul álgebra, entonces el Koszul dual $A^! := Ext_A^\bullet(A_0,A_0)$, de hecho, "determina" la categoría de módulos, los cuales son filtrados por el 0 º de pieza clasificada $A_0$. Cuando la gente intenta generalizar Koszul teoría, una de las cosas que estudio es que si el álgebra $Ext_A^\bullet(M,M)$ puede "determinar" la categoría de los objetos filtrados por $M$, etc. etc. Una buena exposición en esta dirección es Keller Introducción a $A_\infty$ álgebras y módulos.

La filtración, a veces, viene muy de cerca para determinar algún tipo de útil/interesante resoluciones (por Koszul álgebras, la filtración le da la proyectiva de la resolución). Si desea una filtración por dos caras ideal, o una cara ideal, o submódulo, es totalmente de usted. Como se esperaba, realmente depende de lo que quieras hacer.

EDIT: En respuesta a la OP comentarios. Creo que usted necesita para entender las filtraciones, y la clasificación son dos conceptos diferentes y no deben confundirse los dos. Yo mismo caí en esta trampa antes. Esto es comprensible, ya que, la mayoría de las personas hablar de positivos $\mathbb{Z}$-calificación, entonces usted puede conseguir una filtración $\bigoplus_{i\geq 0} A_i \supset \bigoplus_{i\geq 1} A_i \supset \cdots$. Sin embargo, como los comentarios a la pregunta ya digo, con el fin de tener de "filtración", se necesita un concepto de inclusión para los objetos en su categoría (advertencia: esto no es realmente cierto, pero no debe confundir aún más), y entoncés necesidad de "cociente" para objetos de modo que se puede hablar de cosas como "filtrado por una familia de objetos". La primera definición que escribiste en el comentario se parece más a una clasificación cosa en lugar de una filtración de la cosa (lo siento por la mala redacción). El subíndice que aparecen en una clasificación tiene importancia en el estudio; pero el subíndice que aparecen en una filtración, se utiliza simplemente para la etiqueta de la posición de un objeto en la cadena (al menos yo elegiría a pensar en ellos de esta manera).

TBH, yo no entiendo por qué tienes que ser tan precisa acerca de si debe elegir a una cara o a dos caras, ideal para un anillo (para mí, miro las álgebras). Usted debe comenzar por pensar lo que quiera, al fin; o si usted no sabe lo que quiere en la final, ¿por qué no intentar jugar con algunos de los ejemplos primero y ver que tipo de filtración daría algo interesante? Puede ser que usted desea definir un tipo de filtración en algo que usted está estudiando, supongo que se puede, por ejemplo, escribir la definición que usted tenía en su mente primero, y va por la vida preguntando a la gente y ver lo que piensan?

Una vez más, tomar cuasi-hereditaria álgebras como ejemplo; el álgebra es necesario poseer una cadena de inclusiones de algunos especiales de dos caras ideal (un filtrado del álgebra). Por otro lado, puede sucesivamente tomar la (Jacobson) radical para un álgebra, y esto le da también le da un filtrado del álgebra. $A \supset Rad A \supset Rad^2 A \supset \cdots$. Pero estos son dos completamente diferentes filtraciones, y tienen diferentes usos.

Answer 2

"Pregunta 1: ¿estas definiciones se aplican sólo a conmutativa y anillos de álgebras? Son clasificaciones utilizadas en álgebra no conmutativa?"

Sí, ellos están acostumbrados. Por ejemplo, ver

Bahturin, Y. A.; Zaicev, M. V. Semigroup la clasificación en asociativa de los anillos. Adv. Appl. De matemáticas. 37, Nº 2, 153-161 (2006).

Bahturin, Yuri A.; Parmenter, Michael M. Grupo de clasificación en el grupo integral de los anillos. (En inglés) Giambruno, Antonio (ed.) et al., Grupos, anillos y grupo de anillos. Actas de la conferencia, Ubatuba, Brasil, julio 26-31, 2004. Notas de la conferencia en Puras y Aplicadas Matemáticas 248, 25-32 (2006).