Soportes de la mentira y solución espacio de PDE

Question

He lineal de primer orden homogéneo de la PDE sistema con coeficientes polinomiales $$L_j\, f =0,\text{ for } j=1,..,J\quad \text{ where } L_j \text{ is a first order, diff. operator with polynomial coeff.}$$ de modo que cualquier función constante siempre lo soluciona. Quiero saber si en una vecindad de un punto p, todas las soluciones son constantes o no.

Calculamos la Mentira-corchetes, $L_{ij}=[L_i,L_j]$, y desde $L_{ij}\,f =0$ $f$ es una solución del sistema original, que puedo pensar de $L_{ij}$ como un campo de vectores de la tangente paquete de $f$. Si queremos obtener la mínima módulo de operadores lineales que contiene el $L_i$ y es "cerrado" en virtud de la Mentira, de soporte, de evaluarlos en p, y el cálculo de la dimensión del vector correspondiente espacio (que es un subespacio del espacio de la tangente de una solución en p) tenemos que:

Todas las soluciones son constantes en p si y sólo si el espacio descrito anteriormente tiene la máxima dimensión. ¿Es esto cierto? Creo que esta afirmación es correcta, si no, por favor hágamelo saber.

Answer 1

Creo que la tangente del paquete que usted debe considerar es atravesado por la Mentira de álgebra generada por $L_i$, no sólo a $L_{ij}$. En particular, si la Mentira álgebra es conmutativa, a continuación,$L_{ij}=0$, que no es lo que usted está buscando.

Mi favorito de referencia en estas cosas es "Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica" por V. I. Arnold. En el capítulo sobre Hamiltoniana de la Mecánica que analiza los operadores diferenciales que preservar el flujo y su corchete de Poisson (que la convierte en Mentira álgebra, tal como usted la describe). Cada una de las $L_i$ determina una "primera integral" de la corriente, y si usted puede encontrar $k$ de ellos en la involución (es decir,$L_{ij}=0$), a continuación, usted tiene $k$ invariante cantidades. Usted afirma es que si en $n$-dimensional del espacio de fase ha $k=n$, entonces las soluciones son constantes, y esto es cierto. $k=n$ es muy rara, aunque es más común tener $k<n/2$. Sin embargo, incluso para $k=n/2$ no es un resultado muy bueno: con $k=n/2$ primera de las integrales en la involución que el sistema es totalmente solucionable.