En relación de dos caracterización categorial de los objetos finitamente generados.

Question

Me he encontrado con El siguiente categórica caracterización de finitely módulos generados:

Un $R$-módulo de $M$ es finitely generado iff es satifies una de las siguientes propiedades:

a): para cualquier familia de $R$-módulo de $\{U_i\}_{i\in\mathcal I}$ y cualquier epimorphism $f:\bigoplus_{i\in\mathcal I} U_i\twoheadrightarrow M$, existe un subconjunto finito $\mathcal F$ $\mathcal I$ de manera tal que la restricción de $f$ $\bigoplus_{i\in\mathcal F} U_i$ también es épica.

b): para cualquier categoría de $\mathscr I$ lo que representa un dirigidos parcialmente conjunto ordenado y cualquier functor $F:\mathscr I\to R\text -\mathsf{Mod}$ de manera tal que cada flecha de $\mathscr I$ es asignado a una inyección a través de la $F$, luego de la canónica de homomorphism $\varphi:\varinjlim\text{Hom}(M,-)\circ F\to\text{Hom}(M,\varinjlim F)$ es épico en $\mathsf{Ab}$.

Mi pregunta es:

Si $R\text -\mathsf{Mod}$ es sustituido por un arbitrario cocomplete abelian categoría, son la caracterización a) y b), siendo equivalente?

Ya he demostrado que b) implica siempre una).

Answer 1

Los dos no son equivalentes en la categoría opuesta de la categoría de espacios vectoriales sobre un campo $k$, ya que cumple un espacio unidimensional del vector $k$ (a) pero no (b).

¡Es increíble cómo a menudo frente a categorías de módulo categorías trabajo como contraejemplos!