Alguien me puede decir como $\frac{\pi}{\sqrt 2} = \frac{\pi + i\pi}{2\sqrt i}$

Question

Estaba trabajando un problema anoche y consiguió el resultado

$\frac{\pi + i\pi}{2\sqrt i}$

Sin embargo, WolframAlpha dio el resultado

$\frac{\pi}{\sqrt 2}$

Sobre una inspección más cercana me enteré de

$\frac{\pi}{\sqrt 2} = \frac{\pi + i\pi}{2\sqrt i}$

Pero parece que no puedo obtener yo mismo y me ha estado molestando todo el día. ¿Cómo se puede reducir este número complejo a un número real?

Answer 1

Hint: $$(1+i)^2 = 2i{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}$$

Answer 2

Reescribiendo todo en forma polar, el numerador es$\sqrt{2} \pi e^{i \pi/4}$ y el denominador es, para la elección de la rama de$\sqrt{}$ que Wolfram está usando,$2 e^{i \pi/4}$. Así que los términos de$e^{i \pi/4}$ cancelan y le dejan un número real.

Answer 3

Considere lo siguiente: % Let $z=a+bi$donde $a,b$ pertenecen al conjunto de todos números reales.

Nos gustaría resolver $a$ y $b$ tal que $z^2=i$, $(a+bi)^2=0+i$

Entonces, usted sabrá por qué $\sqrt{i}= \frac{1+i}{\sqrt{2}}$ y cómo resolver su problema.