Muestran que

Question

Que secuencia $\{a_{n}\}$ tal $a_{0}=0,a_{1}=1,a_{n}=2a_{n-1}+a_{n-2}$. Mostrar que %#% $ #%

Intento encontrar el $$2^k|n\Longleftrightarrow 2^k|a_{n}$cerrado forma $\{a_{n}\}$$Any ayuda sería muy apreciada

Answer 1

Tenga en cuenta que\begin{eqnarray} a_n&=&\frac{\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}2^{i/2}-\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}2^{i/2}}{2^{3/2}}\\ &=&\frac{2\sum_{i=0}^{[n/2]}\binom{n}{2i+1}2^{(2i+1)/2}}{2^{3/2}}\\ &=&\sum_{i=0}^{[n/2]}\binom{n}{2i+1}2^{i}. \end{eqnarray} desde $n|\binom{n}{2i+1}$ $i=0,1,\cdots [n/2]$, tenemos si $2^k|n$, entonces el $2^k|a_n$.

Por otro lado, primero Observe que % $ $$ a_n=n(1+m) $ número natural $m\ge 1$y por lo tanto si $2^k|a_n$, entonces el $2^k|n$.

Answer 2

SUGERENCIA

Utilizar la inducción (como el visto aquí) o su forma cerrada para mostrar

$$a_{2n}=2a_{n}^2+2a_{n}a_{n-1} \Rightarrow 2a_{n}|a_{2n} $$

Gracias a @DanielFischer♦.