Composición de las relaciones de Borel

Question

Que $X,Y,Z$ ser espacios polacos o estándar espacios de Borel y Consideremos dos relaciones $A \subseteq X \times Y$ y $B \subseteq Y \times Z$ que son conjuntos de Borel. Definen su composición como $$ C: = \{(x,z): \; \exists y \text {que}(x,y) \in A \text {y} (y, z) \in B\}. ¿$$ Es un subconjunto de Borel de $C$ de $X \times Z$? Yo puedo demostrar que es menos analítica.

Answer 1

Que $X= \{0\}$, $Y = Z = [0,1]$ y $A = X \times Y$. Tomar $B \subset Y \times Z$ Borel tal que su proyección a $Z$, $S = \text{proj}_ZB$, no es Borel. Entonces $C = \{0\}\times S$ no es Borel.